Pí

Talan π („pí“), er stærðfræðilegur fasti. Upphaflega skilgreind sem hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings, en hún hefur núna margar aðrar jafngildar skilgreiningar og birtist í mörgum formúlum í öllum sviðum stærðfræði og eðlisfræði. Hún er u.þ.b. jöfn 3,14159 (í flestum útreikningum þarf ekki fleiri, eða mun fleiri aukastafi). Hún hefur verið táknuð með gríska stafnum „π“ síðan um miðja 19. öld, þó hún sé stundum skrifuð sem „pí“ á íslensku og lesin þannig eða t.d. á ensku „pi“ (lesið pæ, eins og e. pie). π er einnig þekkt sem fasti Arkímedesar (sem ekki ætti að rugla við Tölu Arkímedesar), fasti Ludolphs eða tala Ludolphs og kemur einnig mikið við sögu í eðlisfræði og stjörnufræði.

Vegna tæknilegra takmarkana er titillinn á grein þessari rangur. Rétti titillinn er: π

Þar sem talan er óræð, er ekki hægt að tákna hana sem almennt brot (sem þýðir að fjöldi aukastafa, þegar talan er skrifuð út með tölustöfum tekur engan enda, né myndast mynstur í þeim sem endurtekið er endalaust). Samt eru hlutföll s.s. 22/7 og aðrar ræðar tölur oft notaðar til að nálga π. Tölustafirnir virðast vera handahófskenndir.

Talan π er líka torræð tala.

Fólk hefur lagt á minnið og þulið upp yfir 70.000 tölustafi af π rétt.

Grundvallaratriði

π er hefðbundið skilgreint sem hlutfall á milli ummál hrings og þvermáls. Það hlutfall er fasti óháð stærð hrings, en hins vegar er reiknað með flatri (Evklíðskri) rúmfræði, sem er það sem flestir læra fyrst (eða eingöngu). Þ.e. þetta á ekki við í sveigðu (óevklíðsku) rúmi. Talan π er jöfn flatarmáli einingarhrings (hringur með geisla 1), og er ennfremur jöfn hálfu ummáli hans.

Aðrar skilgreiningar á π eru ótengdar rúmfræði. Flest nútímarit skilgreina π á fágaðan máta með hornaföllum, t.d. sem minnsta mögulega jákvæða x þar sem sin(x) = 0, eða sem tvöfalt minnsta mögulega jákvæða x þar sem cos(x) = 0. Allar ofangreindu skilgreiningarnar eru jafngildar.

π kemur fyrir í stærðfræði t.d. í tengslum við prímtölur, Fourier–vörpun og Zetufall_Riemanns, og í eðlisfræði kemur talan upp t.d. í óvissulögmáli Heisenbergs, þ.e. í skammtafræði, en líka í annarri eðlisfræði.

Saga π

Notkun táknsins „π“ fyrir tölu Arkímedesar kom fyrst fram árið 1706 þegar William Jones gaf út bókina A New Introduction to Mathematics, þó að sama tákn hafi áður verið notað til þess að tákna ummál hrings. Táknið varð að staðli þegar Leonhard Euler tók það upp. Í báðum tilfellum er π fyrsti stafurinn í gríska orðinu περιμετροσ (perimetros), sem þýðir ummál.

Ágrip af sögu π

Ummál hrings með þvermál=1 er π.

Nálganir á π:

Heiltölur: 3
Brot: Nálgandi brot (í hækkandi röð eftir nákvæmni): 22/7, 333/106, 355/113, og 52163/16604.

Það tók yfirleitt mörg hundruð ár frá fyrsta rétt reiknaða aukastafnum yfir í að reikna þann næsta, t.d. yfir í 2 rétta, og svo yfir í 3, 5 og 7 (og margir reiknuðu marga ranga).

20. öld fyrir Krist: Babýloníumenn nota $\pi =3{\frac {1}{8}}$ .
20. öld fyrir Krist: Egyptar nota $\pi =\left({\frac {16}{9}}\right)^{2}$ .
12. öld fyrir Krist: Kínverjar nota $\pi =3$ .
434 fyrir Krist: Anaxagóras reynir að búa til ferning hrings með reglustiku og sirkli.
3. öld fyrir Krist: Arkímedes finnur út að ${\frac {223}{71}}\leq \pi \leq {\frac {22}{7}}$ , og að $\pi \approx {\frac {211875}{67441}}$ .
20 fyrir Krist: Vitrúvíus notar $\pi ={\frac {25}{8}}$ .
2. öld: Ptolemaíos notar $\pi ={\frac {377}{120}}$ .
3. öld: Chang Hong notar $\pi ={\sqrt {10}}$ , Wang Fau notar $\pi ={\frac {142}{45}}$ , og Liu Hui notar $\pi ={\frac {471}{150}}$ .
5. öld: Zǔ Chōngzhī ákvarðar $3{,}1415926\leq \pi \leq 3{,}1415927$ .
6. öld: Aryabhata og Brahmagupta í Indlandi nota ${\frac {62832}{20000}}$ og $\pi \approx {\sqrt {10}}$ .
9. öld: Al-Khwarizmi notast við $\pi =3{,}1416$ .
1220: Fibonacci notar gildið $\pi =3{,}141818$ .
1430: Al-Kashi reiknar 14 aukastafi $\pi$ .
1573: Valenthus Otho reiknar 6 aukastafi $\pi$ .
1593: François Vieta reiknar 9 aukastafi $\pi$ , og Hollendingurinn Adriaen van Roomen reiknar 15 aukastafi.
1596: Ludolph van Ceulen reiknar 35 aukastafi $\pi$ .
1665: Isaac Newton reiknar 16 aukastafi.
1699: Sharp, 71 aukastafur.
1700: Seki Kowa, 10 aukastafir.
1706: Machin, 100 aukastafir.
1719: De Lagny reiknar 127 aukastafi, af þeim eru 112 réttir.
1723: Takebe reiknar 41 aukastaf.
1730: Kamata, 25 aukastafir.
1734: Euler gerir táknið π vinsælt.
1739: Matsunaga, 50 aukastafir.
1761: Johann Heinrich Lambert sannar að $\pi$ sé óræð tala.
1775: Euler bendir á möguleikann að $\pi$ sé torræð tala.
1794: von Vega reiknar 140 aukastafi. Af þeim eru 136 réttir.
1794: Adrien-Marie Legendre sýnir að bæði $\pi$ og $\pi ^{2}$ séu óræðar tölur, og bendir á möguleikann að $\pi$ sé torræð tala.
1824: Rutherford reiknar 208 aukastafi, þar af eru 152 réttir.
1844: Strassnitzky reiknar 200 aukastafi.
1847: Thomas Clausen, 248 aukastafir.
1853: Lehmann, 261 aukastafur.
1853: Rutherford, 440 aukastafir.
1855: Richter, 500 aukastafir.
1874: Shanks, 707 aukastafir. Þar af eru 527 réttir.
1882: Ferdinand Lindemann sýnir að pí sé torræð tala.

Pí með fyrstu 63 aukastöfunum (runa A000796 Geymt 15 júlí 2001 í Wayback Machine í OEIS) er:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

Nú er hægt að reikna út eins marga aukastafi og maður vill (og minni tölva leyfir). Fólk hefur líka reynt að muna og sett heimsmet í að þylja upp aukastafi, 70 þúsund staðfest af Guinness sem heimsmet (en Akira Haraguchi hefur þulið upp 111.701 stafi).

G.W. Reitwiesner var fyrstur ásamt samstarfsmönnum að reikna 2037 aukastafi á 70 klukkutímum með ENIAC-tölvunni árið 1949 (reiknaði líka yfir 2000 aukastafi af e), áður höfðu 1120 aukastafir verið reiknaðir með reiknivél. Það met hefur margoft verið slegið varðandi fjölda eða hraða, og sem dæmi má nefna að á pí-daginn svokallaða (14. mars, ritað 3/14 í Ameríku) 2019 birti Emma Haruka Iwao hjá Google niðurstöðu um að metið hefði verið slegið enn á ný og 31.415.926.535.897 aukastafir reiknaðir sem tók 121 dag að reikna út á ofurtölvu. Ef aðeins er um milljónir aukastafa að ræða er hægt að reikna þá út á klukkutímum, var t.d. gert á 2,9 klukkutímum árið 1982 fyrir 4.194.288 aukastafi. Nú orðið ætti hefðbundin tölva eða t.d. farsími að geta reiknað þann fjölda aukastafa nokkuð hratt án þess að klára minni; hefðbundin PC tölva getur reiknað milljón aukastafi á undir 5 sekúndum.

Kurt Mahler sýndi fram á árið 1950 að π væri ekki Liouville-tala.

Í laginu „Pi“ á Kate Bush-plötunni Aerial koma fram í textanum „3.1415926535 897932 3846 264 338 3279“.

Tengt efni

π dagur, hátíðisdagur π