Zetufall Riemanns
Zetufall Riemanns, táknað með ζ(s), er tvinngilt fall með tvinntölubreytu s, sem skilgreint er á tvinntalnasléttunni, nema þar sem raunhluti breytunnar er einn.
Zetufallið er skilgreint þannig, fyrir Re(s) > 1:
en mögulegt er að útvíkka það yfir alla tvinntalnasléttuna, þar sem Re(s) ≠ 1. Ofantalin framsetning Zetufallsins er sértilvik af Dirichlet-röð með an = 1.
Útvíkkun á tvinntalnasléttunni
breytaÚtvíkkun zetufallsins á allri tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) ≠ 1 gefur:
þar sem heildað er meðfram jákvæða hluta x-ássins, einu sinni umhverfis núllpunktinn, sem einnig rita á forminu
Zetufallið sett fram með margfeldum Eulers
breytaLeonhard Euler, setti fram eftirfarandi samband fyrir rauntölu s > 1:
þar sem p er frumtala (prímtala).
(Með því að setja s = 1 fæst umhverfuröð.)
Riemann sýndi af röðin hér að ofan er samleitin fyrir allar tvinntölur s með Re(s) > 1. Gefa má eftirfarandi samband fyrir umhverfu zetufallsins:
þar sem μ er Möbiusfallið.
Zetufallið á tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) < 0
breytaEftirfarandi jafna gildir á hálfsléttunni Re(s) < 0 :
- ,
þar sem Γ táknar gammafallið.
Afleiða zetufallsins
breytaþar sem Λ táknar Mangoldtsfallið.
Núllstöðvar zetufallsins
breytaZetufallið hefur engar núllstöðvar á hálfsléttunni Re(s) > 1, en á hálfsléttunni Re(s) < 0 hefur zetufallið núllstöðvarnar s = -2n, þar sem n er náttúrleg tala. Aðrar núllstöðvar, sem eru óendanlega margar, liggja á borðanum 0 < Re(s) < 1, samhverft um ásana Im(s) = 0 og Re(s) = ½. Ósönnuð tilgáta Riemanns segir að allar "áhugaverðar" núllstöðvar liggi á línunni Re(s) = ½.
Tengsl zetufallsins við frumtölur
breytaTalið er að zetufallið geti gefið mikilvægar upplýsingar um dreifingu frumtalna.