Örsmæðareikningur

Örsmæðareikningur, stærðfræðigreining, reiknivísi, deilda- og heildareikningur eða diffur- og tegurreikningur (á latínu: calculus; „steinvala“) er aðferð í stærðfræði, sem felst í að nota markgildi til að ákvarða hallatölu ferils og flatarmál undir ferlinum.

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Helstu aðgerðir í örsmæðareikningi eru tvær, heildun og deildun, sem einnig nefnast tegrun og diffrun. Einnig er markgildishugtakið mjög mikilvægt, en til viðbótar koma ferilheildi, stiglar og ýmsar aðrar aðgerðir.

Í örsmæðareikningi er fengist við stærðir sem verða óendanlegar og því hefur reynst nauðsynlegt að víkka út rauntalnaásinn þ.a. hann innihaldi einnig stökin plús óendanlegt ($+\infty$) og mínus óendanlegt ($-\infty$). (Sjá útvíkkaði rauntalnaásinn.)

Hugmyndafræði

Náttúrulegi lógaritminn af raunhluta tvinntölu.

Graf sem sýnir mun á snertli (tangent) og sniðli (secant)

Eitt af því sem höfðaði til manna var það að geta mælt hallatölur margliða af hærri gráðum en 1 og annarra falla sem eru ekki beinar línur, svo sem sínus. Auðvelt er að finna hallatölu línu sem lýst er með jöfnunni $y=ax+b$, þar sem að hallatalan er einfaldlega $a$.

Það sem að upphafsmenn stærðfræðigreiningarinnar áttuðu sig á var að til þess að mæla hallatölu þurfti að mæla hana út frá tveimur punktum og hlutfallslegi mismunurinn á þeim punktum er hallatalan. Með því að minnka bilið á milli þeirra tveggja punkta óendanlega mikið var hægt mæla hallatöluna út frá að því er virðist einum punkti:

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ og stundum er notað $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a-h)}{2h}}$

Þá stefnir markgildi beggja þessara stæðna á hallatölu fallsins $f(x)$ í punktinum $a$ þegar að $h$ stefnir á 0. Þessi aðgerð er oftast rituð $f'(x)$ eða ${\frac {df}{dx}}$, og er kölluð deildun.

Vegna þess að hallatalan í þessum tiltekna punkti er þá þekkt, þá er hægt að finna línu með sömu hallatölu, en hún hefur jöfnuna

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Eingöngu ein slík lína er til, en hún kallast snertill fallsins f, þar sem að hún gengur ekki í gegn um f í þessum punkti, heldur rétt strýkur við hana. Allar aðrar línur með sömu hallatölu sem ganga í gegnum fallið eru kallaðir sniðlar.

Sjá meira um deildun

Eftir að diffrun hafði verið skilgreind sáu menn að það það gæti verið kostur að geta tekið aðgerðina til baka. Myndi slík aðferð hafa þann eiginleika að mæla flatarmálið undir tilteknu falli. Sú aðgerð er kölluð heildun, og er skilgreind á ýmsa vegu. Hér verður fjallað lítillega um Riemannheildið:

Riemannheildi er skilgreint sem summa undir- og yfirsumma falls á mælanlegu bili. Það er að segja, stikuð eru út visst mörg bil til þess að mæla fallið á, og fyrir hvert þeirra er mæld yfirsumma annars vegar og undirsumma hins vegar. Summurnar eru allar lagðar saman, og útkoman er flatarmálið undir fallinu:

$\int _{a}^{b}f(x)dx={\bar {I}}(f)$ þar sem að $U\leq {\bar {I}}(f)\leq Y$, þar sem að U er undirsumman og Y er yfirsumman.

Sjá meira um heildun. Sjá einnig Lebesgueheildið.

Saga

Örsmæðareikningur var innleiddur á sautjándu öld til þess að mæta vaxandi þörf manna fyrir útreikninga í vísindum. Einkum var um að ræða þörf fyrir að geta tengt hröðun, hraða og vegalengd hlutar á hreyfingu, hallatölur snertla og breytingarhraða (rate of change), hágildi og lággildi falla (t.d. mestu og minnstu fjarlægð reikistjörnu frá sólu), lengd ferils, flatarmál undir ferli, rúmmál óreglulegra hluta (t.d. rúmmál snúðs) og svo framvegis. Enn þann dag í dag er örsmæðareikningur besta stærðfræðileiðin til útreikninga af þessu tagi og varla er til sú fræðigrein sem ekki nýtur góðs af á einn eða annan hátt.

Upphafsmenn örsmæðareiknings voru samtímamennirnir Isaac Newton (1642 - 1727) í Englandi og Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) í Þýskalandi. Þeir voru báðir framúrskarandi stærðfræðingar í sinni tíð. Þó voru þeir langt því frá að vera vinir, og voru mjög harðir keppinautar lengst af - hvor um sig taldi hinn loddara og sjálfan sig hinn eina sanna höfund örsmæðareikningsins. Deila Newtons og Leibniz teygði arma sína þvert yfir Evrópu, og stóðu vísindamenn altént með öðrum hvorum þeirra. Frægt er að Bernoulli bræður lögðu fyrir Newton margar þrautir sem þeir töldu að væri ógerlegt að leysa með hans útgáfu örsmæðareikningsins. Til að mynda brachistochrones vandamálið, á meðan að stuðningsmenn Newtons á borð við John Kiell og Fatio de Fullier lögðu mjög svipaðar þrautir fyrir Leibniz.

Tengt efni

• Samfelldni
• Samleitni
• Heildun
  • Riemannheildi
  • Lebesgueheildi
• Diffrun
  • Hágildi
  • Lággildi
  • Snertill
  • Söðulpunktur
  • Afleiða
  • Beygjuskil

• Lína, Rúmmál og Flatarmál
  • Margliða
    • Taylormargliður
    • MacLaurinmargliður
• Runur, Raðir
  • Taylorröð
  • Veldaröð
  • Fourierröð
• Isaac Newton
• Gottfried Wilhelm von Leibniz
• Bernoullibræður
• Jacobi
• Eðlisfræði