Setning Taylors

Setning Taylors gefur okkur kleift að rita k-diffranlegt raungilt fall sem summu af k-ta stigs Taylor margliðu fallsins í kringum gefinn punkt og tiltekins skekkjuliðs. Ef við viljum nota k-ta stigs Taylor margliðuna sem nálgun, tiltekin form af setningunni gefa okkur kleift um að meta skekkju nálguninnar.

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Fyrir raunfáguð föll, Taylor margliðan á gefnum punkti er stýfing af Taylor röð þess, sem fullkomlega ákvarðar fallið í tilteknu nágrenni punktsins. Það er hægt að hugsa þetta sem útvíkkun á línulegri nálgun, og tilfellið k=2 er oft kallað annars-stigs nálgun. Til eru mismunandi framsetningar á Taylor setningunni og ekki eru allir sammála um hvernig á að setja hana fram.

Setning Taylors er nefnd eftir stærðfræðinginn Brook Taylor sem uppgötvaði tiltekna útgáfu af setningunni árið 1712 og birti hana árið 1715. Taka skal þó fram að James Gregory uppgötvaði sömu setninguna 40 árum áður. Næstum eina öld eftir að Taylor birti setninguna leiddu Lagrange og Cauchy út nálganir á skekkjuliðinum[1].

Setning Taylors er venjulega kennd í byrjunarkúrsum í örsmæðareikningi[2] og tölulegri greiningu[3].

Hægt er að alhæfa setningu Taylors fyrir föll af mörgum breytistærðun og vigurföll. Þessi alhæfing er undirstaða jets, sem birtist í deildarúmfræði og hlutafleiðujöfnum.

Setning Taylors fyrir eina raunbreytistærðBreyta

Til eru nokkrar framsetningar á setningu Taylors. Hér setjum við fram þrjár framsetningar sem hafa mismunandi skilyrði.

Einfalda framsetninginBreyta

Látum   vera heiltala og látum   vera fall sem er  -diffranlegt í punktinum  . Þá er til fall   þ.a. 

og  .

Framsetning með afleiðuskekkjuBreyta

Látum   vera heiltala og látum   vera fall sem er  -diffranlegt á opna bilinu  . Þá er til punktur   þ.a.

 

Framsetning með heildisskekkjuBreyta

Látum   vera heiltala og látum   vera fall sem er  -diffranlegt á opna bilinu  . Gerum ráð fyrir að   sé samfellt á lokaða bilinu  . Þá er til punktur   þ.a.

 

Ath. að það er hægt að umrita skekkjuliðinn á eftirfarandi form:

 

Skekkjumat á Taylor nálgunumBreyta

Skekkjumat með afleiðuskekkjuframsetningunniBreyta

Gerum ráð fyrir að við höfum fall   sem uppfyllir öll skilyrðin í afleiðuskekkjuframsetningunni á setningu Taylors.

Þá má rita  .

Látum  . Segjum nú að við viljum nota   sem nálgun fyrir   og meta undirskorðuna og yfirskorðuna á skekkjunni.

Þ.e.a.s. við viljum finna undirskorðuna og yfirskorðuna á skekkjunni  .

Ef   þá  .

Ef  , þá getum við yfirskorðað algildi skekkjunnar á eftirfarandi máta:  .

TenglarBreyta

TilvísanirBreyta

  1. Weisstein, Eric W. „Taylor's Theorem“. mathworld.wolfram.com (enska). Sótt 21. mars 2020.
  2. „3. Afleiður — Stærðfræðigreining I (STÆ104G) 2018“. edbook.hi.is. Sótt 21. mars 2020.
  3. „1. Inngangur — Töluleg greining (STÆ405G) 0.1“. edbook.hi.is. Sótt 21. mars 2020.