Undirstöðusetning örsmæðareiknings

Undirstöðusetning örsmæðareikninings er setning sem tengir saman deildun og heildun. Undirstöðusetningin skiptist í tvo hluta.

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Fyrri hluti setningarinnar, sem kallast stundum fyrsta undirstöðusetning örsmæðareiknings, segir að stofnfall af gefnu falli má finna með því að heilda fallið yfir breytilegt bil. Þetta gefur til kynna tilvist stofnfalla fyrir samfelld föll.

Seinni hluti setningarinnar, sem kallast stundum seinni undirstöðusetning örsmæðareiknings, segir að heildi falls f yfir ákveðið bil er hægt að reikna með afleiðu af einu stofnfalli f. Þessi hluti setningarinnar hefur mikilvægar hagnýtingar vegna þess að hún gefur okkur kleift að leysa ákveðin heildi (heildi yfir gefið bil) með því að finna stofnfall fallsins sem er verið að heilda með og nota það til að leysa heildið í staðinn fyrir að leysa ákveðna heildið með tölulegum aðferðum.

UndirstöðusetninginBreyta

Undirstöðusetninguna má skipta í tvo hluta. Fyrri hlutinn snýst um tengsl afleiða við stofnföll þeirra. Seinni hlutinn snýst um samböndin milli stofnfalla og ákveðin heildi (heildi yfir gefið fast bil).

Fyrsta undirstöðusetning örsmæðareikningsBreyta

Látum   vera raungilt fall sem er samfellt á lokaða bilinu  . Látum   vera fall skilgreint á eftirfarandi hátt fyrir öll   í  :

 

Þá er   samfellt á lokaða bilinu  , diffranlegt á opna bilinu   og   fyrir öll   á opna bilinu  .

Athugið að þessi setning hefur þá afleiðingu að fall hefur stofnfall er fallið sjálft er samfellt.

FylgisetningBreyta

Látum   vera raungilt fall sem er samfellt á lokaða bilinu  . Látum   vera stofnfall   skilgreint á lokaða bilinu  . Þá er:

 

Athugið að þessi fylgisetning er stundum kölluð seinni undirstöðusetning örsmæðareiknings í ýmsum ritum og námskeiðum[1][2].

Seinni undirstöðusetning örsmæðareikningsBreyta

Þessi hluti setningunnar kallast stundum Newton-Leibniz frumsendan.

Látum   vera raungilt fall skilgreint á lokaða bilinu   og   vera stofnfall   á lokaða bilinu  , þ.e.a.s.  .

Ef   er Riemann-heildanlegt á lokaða bilinu  , þá er

 

Seinni hluti undirstöðusetningarinnar er sterkari en fylgisetningin því hún gerir ekki ráð fyrir að   sé samfellt fall.

TenglarBreyta

TilvísanirBreyta

  1. Weisstein, Eric W. „Fundamental Theorems of Calculus“. mathworld.wolfram.com (enska). Sótt 20. mars 2020.
  2. „6. Heildun — Stærðfræðigreining I (STÆ104G) 2018“. edbook.hi.is. Sótt 20. mars 2020.