Fourier–vörpun

Fourier-vörpun er vörpun, sem varpar falli yfir í fallagrunn sínuslaga grunnfalla, þ.e.a.s. lýsir fallinu sem línulegri samantekt sínuslaga falla. Nefnd eftir stærðfræðingnum Jean Baptiste Joseph Fourier.

Notagildi Fourier-vörpunar

Fourier-vörpunin hefur margvíslegt notagildi í vísindum s.s. í eðlisfræði, talnafræði, talningafræði, merkjafræði, líkindafræði, tölfræði, dulkóðun, hljóðtækni, sjómælingum, ljósfræði, rúmfræði og á fleiri sviðum. (Í merkjavinnslu og skyldum greinum er hugsunarhátturinn sá að Fourier-vörpunin skipti falli upp í hina mismunandi tíðniþætti sína og skili útslagi og fasa fyrir hvern tíðniþátt.) Þetta fjölbreytta notagildi helgast af nokkrum gagnlegum eiginleikum vörpunarinnar:

• Vörpunin er línuleg og, með viðeigandi skölun, einoka. (Seinni eiginleikinn er þekktur sem setning Parsevals.)

• Vörpunin er gagntæk, og reyndar hafa andhverfa vörpunin og vörpunin sjálf mjög áþekkt form.

• Sínuslaga grunnföllin eru eiginföll deildunar. Þess vegna færir Fourier-vörpun línulegar deildajöfnur með fastastuðla yfir á form algebrískra jafna.

• Samkvæmt földunarsetningunni, jafngildir margföldun í Fourier-grunninum földun í upprunalega grunninum. Þetta er óspart notað til að flýta fyrir reikningum sem byggja á földun, s.s. stafrænum síunaraðgerðum og fleiru.

• Til er afbrigði Fourier-vörpunar til notkunar á stakræn föll af endanlegri lengd. Þá er talað um endanlega stakræna Fourier-vörpun (Discrete Fourier Transform, DFT, á ensku). Hana er hægt að framkvæma sérstaklega hratt með notkun algríma sem kallast hraðar Fourier-varpanir (Fast Fourier Transform, FFT).

Afbrigði Fourier-vörpunar

Samfelld Fourier-vörpun

Sérhvert fall f(t) með endanlega orku má tákna sem summu tvinnveldisfalla með horntíðnir ω og tvinngilt útslag F(ω):

$f(t)={\mathfrak {F}}^{-1}(F)(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .$

Þetta er reyndar andhverfa samfellda Fourier-vörpunin, en sjálf Fourier-vörpunin táknar F(ω) út frá f(t). Upprunalega fallið og vörpun þess kallast Fourier-par. Sjá Samfelld Fourier-vörpun (á ensku) með frekari upplýsingum, þ.m.t. töflu yfir mikilvæg Fourier-pör, upplýsingum um eiginleika vörpunarinnar og fleira.

Fourier-raðir

Samfellda Fourier-vörpunin er í raun alhæfing eldri hugmyndar, Fourier-raðarinnar, sem er eingöngu skilgreind fyrir lotubundin (eða endanleg í tíma) föll f(x) (með lotu 2π), og setur slík föll fram sem summu raðar sínuslaga falla:

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},$

þar sem $F_{n}$ er (tvinngilt) útslag. Fyrir raungild föll má einnig tákna Fourier-röðina svo:

$f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right],$

þar sem a_n og b_n eru (raungilt) útslag fyrir Fourier-röðina.

• Всё о Mathcad Geymt 20 október 2019 í Wayback Machine Snið:Ref-ru