Heildun

(Endurbeint frá Tegrun)

Heildun (einnig þekkt sem tegrun úr ensku og flest öllum öðrum tungumálum orðinu integration, sjá samheiti innan stærðfræðinnar) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili).

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning
Markgildi
Samfelldni
Vigurgreining
Þinreikningur
Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan
Brotareglan
Keðjureglan
Fólgið fall
Setning Taylors
Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi
Óeiginlegt heildi
Hlutheildun
Hringheildun
Heildun snúða
Innsetningaraðferðin
Innsetning hornafalla
Heildun ræðra falla

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reikna ákveðið heildi á tilteknu bili með því að finna fyrst stofnfall fallsins sem heilda skal og taka síðan mismun stofnfallsins í endapunktum bilsins.

Dæmi: Fallið, sem heilda skal,: , á sér stofnfall,

, þar sem c er óskilgreindur fasti.

(Athuga ber að ekki er unnt að finna stofnfall nema í undantekningartilvikum.)

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið ‚summa‘ en Leibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildunar nefnist deildun.


Skilgreining á óákveðnu heildiBreyta

Að leysa óákveðin heildi snýst um að finna stofnföll falls. Hér reynum við að gefa greinagóða skilgreiningu á óákveðnu heildi með því að kynna fyrst til sögunnar skilgreiningu á stofnfalli. Næst bendum við á mikilvægan eiginleika stofnfalla að þau halda áfram að vera stofnföll þótt fastar séu lagðir við þau. Í lokin skilgreinum við óákveðin heildi með tveimur mismunandi skilgreiningum, sem mengi, og sem fall, þar sem síðari skilgreiningin er meira notuð.

Skilgreining á stofnfalliBreyta

Látum   vera raungilt fall af einni raunbreytistærð.   hefur stofnfall   ef   fyrir öll   þar sem   táknar formengi  .

Tilvist margra stofnfallaBreyta

Ef   er stofnfall  , þá er   líka stofnfall   þar sem   er einhver rauntölufasti.

Mengi allra stofnfalla fallsBreyta

Ef   er stofnfall  , þá er hægt að rita öll stofnföll   á form   þar sem   er einhver rauntölufasti.

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem mengi]Breyta

Látum   vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnföll. Þá er óákveðna heildi   skilgreint sem mengi allra stofnfalla   og mengið er táknað á eftirfarandi máta:

 

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem fall]Breyta

Látum   vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnfall  . Þá er óákveðna heildi   skilgreint á eftirfarandi máta:

 

þar sem   er einhver rauntölufasti.

Munurinn á mengja- og fallaskilgreiningunumBreyta

Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu er oftast notuð ef átt er við óákveðið heildi. Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu tengist mengjaskilgreiningunni á óákveðnu heildinu á þann hátt að það er hægt er að stika öll stofnföll falls með framsetningunni í fallaskilgreiningunni. Þ.e.a.s. mengjaframsetningin á óákveðnu heildinu af fallinu   með eitthvað stofnfall   er:

 

en fallaframsetningin á óákveðnu heildinu er:

 .

Skilgreiningar á ákveðin heildiBreyta

Það eru til margar skilgreiningar á ákveðnum heildum. Hins vegar eru ekki allar skilgreiningarnar jafngildar.

Algengustu skilgreiningarnar eru Riemann heildi og Lebesgue heildi.

Riemann heildi[1]Breyta

Hjálparskilgreining [Möskvastærð á skiptingu]Breyta

Látum   vera skipting á  .

Möskvastærð   er skilgreind sem  .

UppsetningBreyta

Látum   vera takmarkað raungilt fall á  , þ.e.a.s. það er til   þ.a.   fyrir öll  .

Látum   vera skipting á  .

Látum   vera mengi allra Riemann summa fyrir fall   og skiptingu  .

SkilgreininginBreyta

Fallið   er Riemann-heildanlegt á   ef það er til   þ.a. fyrir öll   það er til   þ.a.   fyrir allar Riemann summur   með  .

Ef talan   er til, þá kallast hún Riemann heildi   yfir   og er táknuð sem  .

Darboux heildi[1]Breyta

Skilgreiningin á Darboux heildi er jafngild skilgreiningunni á Riemann heildi og sambærileg skilgreining er notuð í kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kennd í HÍ[2].

UppsetningBreyta

Látum   vera takmarkað raungilt fall á  , þ.e.a.s. það er til   þ.a.   fyrir öll  .

Látum   vera skipting á  .

Neðri og efri Darboux summurBreyta

Skilgreinum neðri Darboux summu   m.t.t.   sem  .

Skilgreinum efri Darboux summu   m.t.t.   sem  .

Neðri og efri Darboux heildiBreyta

Skilgreinum neðra Darboux heildi   sem  .

Skilgreinum efra Darboux heildi   sem  .

SkilgreininginBreyta

  er Darboux heildanlegt á bili   ef neðri og efri Darboux heildi   eru til og  . Ef   er Darboux heildanlegt á bili  , þá kallast talan   Darboux heildi   yfir   og er táknuð sem  .

Samband milli óákveðin og ákveðin heildiBreyta

Óákveðin og ákveðin heildi eru skilgreind á mismunandi máta. Hins vegar gefa heiti þeirra til kynna að þessi hugtök tengjast. Athugið að hér notumst við við fallaskilgreininguna á óákveðnum heildum til að lýsa tengslin milli óákveðin og ákveðin heildi. Meginmunur óákveðna og ákveðinna heilda er að óákveðin heildi eru föll en ákveðin heildi eru tölur. Þessi hugtök tengjast þó í gegnum undirstöðusetningu örsmæðareiknings.

Lausn óákveðins heildis með ákveðnu heildiBreyta

Í gegnum fyrri undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota ákveðin heildi til að leysa óákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall   sem er samfellt á bilinu  . Þá segir fyrri undirstöðusetningin að eftirfarandi ákveðna heildi er eitt af stofnföllum  :

 

Þá getum við leyst þetta ákveðna heildi og stungið inn í óákveðna heildið, þ.e.a.s.

 

þar sem   er einhver rauntölufasti.

Lausn ákveðins heildis með óákveðnu heildiBreyta

Í gegnum seinni undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota óákveðin heildi til að leysa ákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall   sem er Riemann-heildanlegt á bilinu   og við viljum heilda fallið yfir þetta bil. Við getum leyst ákveðna heildið   með því að finna stofnfall fallsins með óákveðnu heildi og notað svo seinni unfirstöðusetninguna til að reikna ákveðna heildið með því að nota aðeins stofnfallið.

Þ.e.a.s. með eftirfarandi skrefum:

  1. Finna stofnfall með óákveðinni heildun:  .
  2. Reikna ákveðna heildið með seinni undirstöðusetningunni:  .

HeildunarreglurBreyta

  • Náttúrlega vísisfallið breytist ekki þegar að það er heildað:
     
  • Náttúrulegur logri heildast þannig:
     
  • Hlutheildun er þannig:
     
  • Rúmmál snúðs fallsins   um X-ás er fundið með reglunni:
     

DæmiBreyta

Heildum fallið   með tilliti til x. Það er ritað þannig:

 

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

 

Þá getum við heildað skv reglunni:

 

þannig að:

 

svo niðurstaðan er:

 

HeildunaraðferðirBreyta

TilvísanirBreyta

  1. 1,0 1,1 Ross, Kenneth A. (2013). Elementary Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4614-6271-2. ISBN 978-1-4614-6270-5.
  2. „6. Heildun — Stærðfræðigreining I (STÆ104G) 2018“. edbook.hi.is. Sótt 22. mars 2020.