Emmy Noether

Amalie Emmy Noether (Borið fram [ˈnøːtɐ]; 23 mars 1882 – 14 apríl 1935) var þýskur stærðfræðingur sem gerði mikilvæg framlög til algebru og eðlisfræði. Hún notaði ávallt nafnið "Emmy Noether" bæði í daglegu lífi og í skrifum. Henni var lýst af Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl og Norbert Wiener sem mikilvægustu konu í sögu stærðfræðinnar. Sem einn af leiðtogum stærðfræðinga sinnar tíðar, þróaði hún forsendukerfi bauga og sviða en hún átti einnig önnur mikilvæg framlög til algebru. Kenning Noether í eðlisfræði útskýrir tengingu samhverfna og varðveislulögmála.

Noether

Noether fæddist í gyðingafjölskyldu í bænum Erlangen sem er í Franconian-héraði Suður-Þýskalands; faðir hennar var stærðfræðingur, Max Noether. Upphaflega ætlaði hún sér að kenna frönsku og ensku eftir að standast þau próf sem til þurfti, henni snerist þó hugur og ákvað að læra stærðfræði í háskóla Erlangen í staðinn, þar sem pabbi hennar var kennari. Eftir að hún lauk lokaritgerð sinni árið 1907 undir handleiðslu Paul Gordan þá vann hún við Stærðfræðideild Erlangen án launa í 7 ár. Á þeim tíma fengu konur yfirleitt ekki að vinna sem fræðimenn, en árið 1915 var henni boðið af David Hilbert og Felix Klein að ganga til liðs við stærðfræðideild Göttingen-háskóla, sem var heimsfræg miðstöð stærðfræðirannsókna. Hins vegar mótmælti heimspekideild háskólans þannig að Noether gaf út fyrirlestra undir nafni Hilberts í fjögur ár. Henni var loks leyft að gegna stöðu Privatdozent árið 1919 eftir að Hilbert lét þau orð falla að þetta væri háskóli, ekki baðhús.

Noether var brautryðjandi meðal meðlima stærðfræðideildar Göttingen þangað til 1933; nemendur hennar voru stundum kallaðir "Noether-drengir". Árið 1924 varð hollenski stærðfræðingurinn B.L. van der Waerden meðlimur í þeim hóp og varð fljótt talsmaður hugmynda hennar. Vinna hennar varð grunnur að öðru bindi áhrifaríkrar kennslubókar hans, Moderne Algebra, sem kom út 1931. Árið 1932 ávarpaði hún alþjóðlegt þing stærðfræðinga í Zurich, en á þeim tíma var snilligáfa hennar á sviði algebru viðurkennd um allan heim. Árið eftir setti Nasisastjórn Þýskalands lög sem bönnuðu gyðingum að gegna háskólastörfum, Noether flutti þegar í stað til Bandaríkjanna þar sem hún fékk samstundis ríkisborgararétt. Þar gegndi hún stöðu við Bryn Mawr-háskólan í Pennsylvaníu. Árið 1935 þurfti hún að fara í aðgerð vegna blöðru á eggjastokkum og þó svo það liti út fyrir að hún myndi jafna sig þá dó hún fjórum dögum seinna, 53 ára gömul.

Framlagi Noether til stærðfræðinnar hefur verið skipt í þrjú tímabil, það fyrsta á árunum 1908-1919 þegar hún setti fram kenningar um algebraísk fastaskilyrði og talnasvið. Setning hennar um óbreytileika deildana í hnikareikningum, setning Noether, hefur verið kölluð "eitt mikilvægasta og áhrifamesta framlag stærðfræðinnar til nútímaeðlisfræði". Næsta tímabil var á árunum 1920-1926, en á þeim tíma breytti hún því sem var kallað abstrakt algebra með því að búa til þau fræði sem eru grunnur fagsins nú til dags. Í klassískri fræðigrein hennar frá 1921, Idealtheorie in Ringbereichen (Íðöl yfir bauga) þróar Noether íðöl í víxlbaugum í verkfæri sem nýtast í allskyns samhengjum. Hún notfærði sér vaxandi keðjuskilyrði svo glæsilega að hlutir sem mæta þeim eru nefndir eftir henni. Þriðja tímabilið var svo á árunum 1927-1935, en þá gaf hún út greinar um óvíxlnar algebrur og rauntalnasvið þar sem hún sameinaði útsetningarfræði grúpa og fræði íðala og mótla. Þó Noether væri jafn dugleg að gefa út greinar og raun ber vitni þá var hún einnig mjög gjafmild á hugmyndir sínar og er eignaður heiðurinn af mörgum fræðilegum greinum sem gefnar voru út af öðrum stærðfræðingum, þar á meðal í algebraískri grannfræði sem sótti margt í svipalgebru.

Einkalíf

Noether ólstu upp í Bavarian borginni Erlangen, sýnt hér á póstkorti frá 1916

Emmy Noether með bræðrum sínum Alfred, Fritz, og Robert, fyrir 1918

Faðir Emmy, Max Noether, var afkomandi fjölskyldu heildsala í Þýskalandi. Þegar hann var 14 ára lamaðist hann af polio. Hann endurheimti hreyfigetu, en annar fótleggur hans varð þó aldrei alveg góður. Hann var að miklu leyti sjálflærður og var veitt doktorsgráða frá Háskólanum í Heidelberg árið 1868. Hann kenndi þar í 7 ár en samþykkti svo stöðu í Erlangen þar sem hann kynntist Idu Amalia Kaufmann, sem var dóttir vel efnaðs kaupmanns.

Framlag Max Noether til stærðfræðinnar var aðallega á sviði algebraískar rúmfræði en hann fetaði mestmegnis í fótspor Alfred Clebsch. Best þekktu niðurstöður hans eru Brill–Noether setningin og leifin, eða AF+BG setningin; hann átti einnig aðild að nokkrum öðrum setningum.

Emmy Noether var fædd 23. mars 1882, elst fjögurra barna. Hún var nefnd "Amalie", í höfuðið á móður sinni og föðurömmu, en byrjaði mjög ung að nota millinafnið sitt.

Fólki líkaði vel við Noether þegar hún var ung stelpa en hún skaraði ekki fram úr í skólanum. Samt sem áður var hún þekkt fyrir að vera klár og vingjarnleg. Hún var nærsýn og smámælt sem barn. Vinur fjölskyldunnar sagðist mörgum árum seinna muna eftir því að hún hefði leyst gestaþraut hratt í barnaboði. Noether lærði að elda og þrífa, eins og flestar stelpur á þessum tíma, auk þess að læra á píanó. Hún hafði ekki mikinn áhuga á neinum af þessum hlutum en fannst gaman að dansa.

Hún átti þrjá yngri bræður: Sá elsti, Alfred, var fæddur 1883, var veitt doktorsgráða í efnafræði frá Erlangen árið 1909, en dó svo níu árum seinna. Fritz Noether, fæddum 1884, er minnst fyrir afrek á sviði fræðigreina, en hann lærði í Munich og gat sér gott orð á sviði hagnýttrar stærðfræði, hins vegar flutti hann til Rússlands eftir að gyðingum var bannað að gegna háskólastöðum og var dæmdur í 25 ára fangelsi þar fyrir að vera "þýskur njósnari" og svo drepinn. Yngsti bróðir hennar Gustav Robert fæddist 1889 en lítið er vitað um hann nema að hann var langveikur og dó 1928.

Háskólamenntun

Paul Gordan var leiðbeinandi Noether fyrir doktorsritgerð hennar um óbreytni fjórðastigsformúla

Noether var snögg að læra frönsku og ensku. Um vorið árið 1900 tók hún matspróf til að öðlast réttindi til þess að kenna þessi tungumál og fékk einkunnina mjög gott. Það gaf henni réttindi til þess að kenna ensku og frönsku í stúlknaskólum, en hún kaus frekar að halda áfram að læra við háskólann í Erlangen.

Þetta var mjög óvenjuleg ákvörðun; tveimur árum áður hafði kennslustjórn háskólans lýst því yfir að það að leyfa blandað nám (kvenna og karla) myndi "henda öllu akademísku skipulagi í ringulreið". Noether var önnur tveggja kvenna í háskóla með 986 nemendum, hún mátti aðeins sækja fyrirlestra sem óreglulegur nemandi, vann sér ekki inn námseiningar og þurfti leyfi sérhvers fyrirlesara til að mega hlýða á fyrirlestra þeirra. Þrátt fyrir þessar hindranir stóðst hún lokapróf 14. júlí 1903 í Realgymnasium í Nuremberg.

Á vetrarönn 1903-1904 nam hún við háskólann í Göttingen, en þar sótti hún fyrirlestra Karl Schwarzschild og stærðfræðinganna Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein og David Hilbert. Stuttu seinna var konum formlega leyft að sækja nám í háskóla.

Noether snéri aftur til Erlangen og hóf fyrir alvöru nám í háskólanum í október 1904 undir þeirri yfirlýsingu að beina sjónum sínum eingöngu að stærðfræði. Undir handleiðslu Paul Gordan skrifaði hún svo doktorsritgerðina sína, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Um Fullkomin Kerfi af Föstum fyrir Þríundaforms Fjórðastigsformúlna, 1907). Gordan var meðlimur í "reiknifræðilegum" skóla óbreytileika rannsakenda og ritgerð Noether endaði á lista með útreikningum á yfir 300 föstum. Þessi nálgun við könnun fasta var seinna leyst af hólmi með meira abstrakt og almennari aðferðum sem fundnar voru af Hilbert. Þó svo að ritgerðinni hefði verið vel tekið þá lýsti Noether henni, og öðrum svipuðum ritgerðum sínum, sem "drasli".

Kennsla

Háskólinn í Erlangen

Næstu sjö ár (1908-1915) kenndi hún við stærðfræðideild háskólans í Erlangen án launa, auk þess að leysa stundum föður sinn af hólmi þegar hann var of veikur til að kenna. Árin 1910 og 1911 gaf hún út framlengingu af ritgerðinni sinni þar sem hún fór úr þremur breytum í n breytur.

Gordan fór á eftirlaun vorið 1910, en hélt samt áfram að kenna við og við ásamt eftirmanni sínum, Erhard Schmidt, sem hætti stuttu seinna fyrir starf í Breslau. Gordan hætti alveg að kenna 1911 þegar eftirmaður Schmidt, Ernst Fischer, tók við; Gordan dó svo ári seinna, í desember 1912.

Noether notaði stundum póstkort til að tala um abstrakt algebru við samstarfsmann sinn Ernst Fischer. Þetta póstkort er frá 10 Apríl 1915.

Samkvæmt Hermann Weyl þá var Fischer mikilvægur áhrifavaldur Noether, þá sérstaklega með því að kynna hana fyrir framlagi David Hilbert til stærðfræðinnar. Frá 1913 til 1916 gaf Noether út þónokkrar greinar sem framlengdu og beittu niðurstöðum Hilberts á stærðfræðileg kerfi eins og svið og ræð föll auk fastaskilyrða endanlegra grúpa. Þetta skeið markar byrjun rannsókna hennar á abstrakt algebru, sem er það svið stærðfræðinnar sem hún unni mest.

Noether og Fischer áttu líflegt samstarf og höfðu gaman af því að iðka stærðfræði saman, þau héldu oft áfram að ræða fyrirlestra löngu eftir að þeim var lokið; Noether sendi Fischer einnig póstkort þar sem hún deildi hugleiðingum sínum um stærðfræði.

Háskólinn í Göttingen

Vorið 1915 þá buðu David Hilbert og Felix Klein Noether að koma aftur til Göttingen. Tilraunir þeirra til að fá hana til að ganga til liðs við sig voru hinsvegar hindraðar af heimspekingum og sagnfræðinum í heimspekideild skólans: Að þeirra mati ættu konur ekki að fá að vera privatdozenten sem er ólaunuð staða sem var til á þessum tíma sem virkaði þannig að nemendur þurftu að borga fyrirlesaranum fyrir að mæta á fyrirlestra. Einn af þeim lét hafa eftirfarandi eftir sér: "Hvað munu hermenn hugsa þegar þeir koma aftur í háskóla og finna út að þeir þurfa að læra af konu?" Hilbert svaraði þá reiðilega "Ég sé ekki hvers vegna kyn frambjóðenda er forsenda gegn inngöngu hennar til privatdozent, við erum eftir allt saman háskóli, ekki baðhús."

Árið 1915 bauð David Hilbert Noether að vera meðlimur í stærðfræðideild Göttingen en það reyndi á viðhorf þröngsýnni samstarfsmanna hans en þeir voru alfarið á móti því að leyfa konum að kenna í háskóla.

Noether fór til Göttingen í Apríl en tveimur vikum seinna dó móðir hennar skyndilega í Erlangen. Hún hafði áður fengið aðhlynningu vegna augnsýkingar en ástæða hennar og áhrif þessa atburðar á Emmy eru óþekkt. Á svipuðum tíma fór faðir Noether á eftirlaun og bróðir hennar fór í þýska herinn til að taka þátt í fyrri heimsstyrjöldinni. Hún fór því aftur til Erlangen í þónokkrar vikur, aðallega til að sjá um pabba sinn.

Fyrstu árin sem hún kenndi við Göttingen þá var hún ekki með formlega stöðu og var ekki borgað; fjölskyldan hennar borgaði fyrir fæðu og húsnæði og studdu rannsóknarvinnu hennar. Fyrirlestrar hennar voru oft auglýstir undir nafni Hilberts og Noether myndi veita "aðstoð".

Það leið ekki langur tími eftir að hún kom til Göttingen þangað til hæfileikar hennar komu í ljós, hún sannaði setningu, nú þekkt sem Setning Noether, sem sýnir að varðveislulögmál eru vensluð við hvaða deildanlegu samhverfu eðlisfræðilegs kerfis sem er. Greinin var kynnt af samstarfsmanni, F. Klein 26. júlí 1918 á fundi Royal Society of Sciences í Göttingen. Noether fékk ekki að vera meðlimur í þessu félagi og fékk því ekki að kynna greinina sjálf. Bandarísku eðlisfræðingarnir Leon M. Lederman og Cristopher T. Hill halda því fram í bók sinni Symmetry and the Beautiful Universe að setning Noether sé "afdráttarlaust ein mikilvægasta setning stærðfræðinnar fyrir þróun eðlisfræðinnar og sambærileg við reglu Pýþagórasar".

Þegar fyrri heimsstyrjöldin kláraðist þá olli Þýska byltingin 1918–1919 miklum breytingum í viðhorfi samfélagsins, þar á meðal bætt viðhorf gagnvart auknum réttindum kvenna. Árið 1919 leyfði loksins Háskólinn í Göttingen Noether að taka matspróf til að öðlast réttindi til að kenna við skólann. Hún tók munnlegt próf seint í maí og flutti með góðum árángri fyrirlesturinn, sem lauk prófinu, í júní 1919.

Stærðfræðideild Göttingen Háskóla leygði Noether að taka matspróf til að öðlast réttindi til kennslu 1919, fjórum árum eftir hún hóf kennslu við skólann.

Þremur árum seinna þá fékk hún bréf frá Prússneska ráðherranum fyrir vísindi, list og menntun almennings, þar sem hann veitti henni titillinn nicht beamteter ausserordentlicher Professor (sem er óæviráðinn prófessor með takmarköð stjórnsýslu réttindi). Þetta var ólaunuð staða fyrir "fyrirmyndar" prófessora, ekki hær setta staðan fyrir "venjulega" prófessora, sem var staða borguð af ríkinu. Þrátt fyrir að veita henni viðurkenningu fyrir mikilvægi rannsókna hennar þá fékk hún enn ekkert borgað. Noether fékk í raun ekki borgað fyrir neinn fyrirlestra sinna fyrr en henni var veitt sérstök staða: Lehrbeauftragte für Algebra ári seinna.

Framlag til abstrakt algebru

Þó svo að setning Noether hafði veruleg áhrif á klassíska eðlisfræði og skammtafræði þá er hún meðal stærðfræðinga best þekkt fyrir framlag sitt til abstrakt algebru. Í inngangi sínum að Greinasafni (Collected Papers) Noether, skrifar Nathan Jacobson:

The development of abstract algebra, which is one of the most distinctive innovations of twentieth century mathematics, is largely due to her – in published papers, in lectures, and in personal influence on her contemporaries.

Hún leyfði stundum samstarfsmönnum sínum og nemendum að fá heiðurinn af hugmyndum sínum, sem hjálpaði þeim að þróa starfsferla sína á kostnað hennar eigin.

Framlag Noether til algebru byrjaði 1920. Í samstarfi við W. Schmeidler, hún gaf út grein um íðöl þar sem þau skilgreindu vinstra og hægri íðal við baug.

Árið eftir gaf hún greinina Idealtheorie in Ringbereichen, þar sem hún skoðar vaxandi keðjuskilyrði íðala í baugum. Þekktur algebrufræðingur Irving Kaplansky kallaði þessa vinnu "brautryðjandi"; þessi grein olli því að talað er um "Noether bauga" og margt annað hefur einnig verið kallað Noetherian af sömu ástæðu.

Árið 1924 var ungur hollenskur stærðfræðingur, B.L. van der Waerden, nemandi við Göttingen háskóla. Hann byrjaði þegar í stað að vinna með Noether, sem kenndi honum ómetanlegar aðferðir við að sjá fyrir sér abstrakt hugmyndir. Van der Waerden sagði seinna að hugvitssemi Noether "ætti sér engan samanburð". Árið 1931 gaf hann út Moderne Algebra, sem er undirstöðurit í greininni; seinna bindi bókarinnar fékk heilmikið í láni frá Noether. Þó svo að Noether bað ekki um viðurkenningu þá setti hann í sjöundu útgáfu bókarinnar að "bókin væri byggð á fyrirlestrum E. Artin og E. Noether".

Heimsókn Van der Waerden var partur af samleitni stærðfræðinga allstaðan að til Göttingen, sem varð þungamiðja í rannsóknum á stærðfræði og eðlisfræði. Frá 1926 til 1930 var rússneski grannfræðingurinn Pavel Alexandrov fyrirlesari í skólanum en hann og Noether urðu fljótt góðir vinir. Hann byrjaði að kalla hana der Noether, sem er karlkyns greinir, til þess að sýna henni virðingu. Hún reyndi að koma því í kring að hann fengi stöðu í Göttingen sem prófessor en gat bara reddað honum skólastyrk frá Rockefeller Samtökunum. Þau hittust reglulega og nutu þess að kanna skurðpunkt grannfræði og algebru. Árið 1935 í minningarræðu sinni, kallaði Alexandrov Emmy Noether "merkasta kvennkyns stærðfræðing allra tíma".

Framhaldsnemar og áhrifaríkir fyrirlestrar

Noether var ekki aðeins virðingarverð fyrir stærðfræðilegt innsæi sitt heldur einnig tillitsemi gagnvart öðrum. Þó svo hún hafi stundum verið dónaleg við þá sem voru ósammála henni þá hafði hún samt sem áður orðspor fyrir viðstöðulausa hjálpsemi og þolinmæði gagnvart nýjum nemendum. Hollusta hennar við nákvæmni olli því að samstarfsmenn hennar kölluðu hana harðan gagnrýnenda en hún sameinaði þessa dómhörku við natni sem olli því að samstarfsmenn hennar lýstu henni seinna þannig:

Completely unegotistical and free of vanity, she never claimed anything for herself, but promoted the works of her students above all.

Göttingen

Noether c. 1930

Í Göttingen leiðbeindi Noether meira en tólf doktorsnemum; fyrsti neminn hennar var Grete Hermann, sem varði doktorsritgerðina sína í Febrúar 1925. Seinna talaði hún af lotningu um Noether sem "ritgerðar-mömmu" sína. Noether var líka leiðbeinandi Max Deuring, sem var þekktur fyrir að hafa átt mikilvægt framlag til reiknings rúmfræði sem grunnemi; Hans Fitting, sem er þekktur fyrir setningu Fitting og hjálparsetningu Fitting; Zeng Jiongzhi (einnig kallaður "Chiungtze C. Tsen") sem sannaði setningu Tsen. Hún vann einnig náið með Wolfgang Krull sem átti stórt framlag í víxlinni algebru með útgáfu Hauptidealsatz og jók skilning á vídd í víxlnum baugum.

Hún lifði mjög sparsamt, fyrst vegna þess hún fékk ekki borgað; en að lokum þegar hún byrjaði að fá smá borgað 1923 þá hélt hún áfram að lifa mjög einföldu lífi. Seinna fékk hún betur borgað en hún sparaði helmingin af laununum sínum til að gefa frændi, Gottfried E. Noether.

Hún hafði litlar áhyggjur af útliti og mannasiðum, þeir sem hafa kynnt sér líf hennar hafa aðallega lagt áherslu á rannsóknir hennar. Frægur algebrufræðingur Olga Taussky-Todd lýsti hádegismat þar sem Noether, sem var alveg búin að gleyma sér í umræðu um stærðfræði, "veifaði höndunum í æsingi" meðan hún borðaði og "setti mat út um allt og þurrkaði sér í kjólinn sinn án nokkurra áhyggna". Nemendur hennar sem voru meðvitaðir um útlit sitt fengu aulahroll þegar hún náði í vasaklút úr blússuni sinni og lét sér fátt finnast um hárið á sér sem var í sífellt meiri flækju eftir því sem leið á fyrirlesturinn. Tveir kvennkyns nemendur komu einu sinni til hennar í hléi í tveggja klukkustunda kennslustund til þess að koma áhyggjum sínum áleiðis en voru ófærar um að koma þeim til skila vegna óstöðvandi stærðfræði umræðu sem hún var að eiga við hina nemendurna.

Samkvæmt minningargrein van der Waerden þá fylgdi hún ekki kennsluáætlun fyrir fyrirlestra sína sem fór í taugarnar á sumum nemendum. Þess í stað þá notaði hún fyrirlestrana sem vettvang til hvatvísrar umræðu um stærðfræði, þannig þau gæti hugsað um og skýrt mikilvæg vandamál í stærðfræði. Sumar af mikilvægustu niðurstöðunum hennar urðu til í þessum fyrirlestrum og fyrirlestrarnótur hennar og nemenda hennar urðu grunnurinn að mörgum mikilvægum kennslubókum, t.d. þeirra sem van der Waerden og Deuring skrifuðu. Algebra er enn þann dag í dag kennd nokkurnveginn í sömu röð og Noether gerði það.

Margir samstarfsmanna hennar mættu í fyrirlestrana hennar og hún leyfði öðrum að gefa út sumar af hugmyndum sínum eins og t.d. krossfeldi tengina algebra. Noether gaf að minnsta kosti þessar fimm annar-löngu fyrirlestrarseríur:

• Vetur 1924/1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [Group Theory and Hypercomplex Numbers]
• Vetur 1927/1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [Hypercomplex Quantities and Representation Theory]
• Sumar 1928: Nichtkommutative Algebra [Noncommutative Algebra]
• Sumar 1929: Nichtkommutative Arithmetik [Noncommutative Arithmetic]
• Vetur 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen [Algebra of Hypercomplex Quantities]

Þessir kúrsar komu oft á undan mikilvægum greinum sem hún gaf út um sama efni.

Tilvísanir

Frekari heimildir

• Phillips, Lee (maí 2015). „The female mathematician who changed the course of physics—but couldn't get a job“. Ars Technica. California: Condé Nast.
• Alexandrov, Pavel S. (1981). „In Memory of Emmy Noether“. Í Brewer, James W; Smith, Martha K. (ritstjórar). Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work. New York: Marcel Dekker. bls. 99–111. ISBN 978-0-8247-1550-2.
• Byers, Nina (2006), „Emmy Noether“, Í Byers, Nina; Williams, Gary (ritstjórar), Out of the Shadows: Contributions of 20th Century Women to Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82197-1
• Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, Þýðing eftir Blocher, H.I., Boston: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3019-4
• Fleischmann, Peter (2000), „The Noether bound in invariant theory of finite groups“, Advances in Mathematics, 156 (1): 23–32, doi:10.1006/aima.2000.1952, MR 1800251
• Fogarty, John (2001), „On Noether's bound for polynomial invariants of a finite group“, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 7 (2): 5–7, doi:10.1090/S1079-6762-01-00088-9, MR 1826990, sótt 16. júní 2008
• Gilmer, Robert (1981), „Commutative Ring Theory“, Í Brewer, James W.; Smith, Martha K. (ritstjórar), Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, bls. 131–43, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Gordan, Paul (1870), „Die simultanen Systeme binärer Formen“, Mathematische Annalen (þýska), 2 (2): 227–80, doi:10.1007/BF01444021, afrit af upprunalegu geymt þann 3. september 2014
• Haboush, W.J. (1975), „Reductive groups are geometrically reductive“, Annals of Mathematics, 102 (1): 67–83, doi:10.2307/1970974, JSTOR 1970974
• Hasse, Helmut (1933), „Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper“, Mathematische Annalen (þýska), 107: 731–60, doi:10.1007/BF01448916, afrit af upprunalegu geymt þann 5. mars 2016
• Hilbert, David (desember 1890). „Ueber die Theorie der algebraischen Formen“. Mathematische Annalen (þýska). 36 (4): 473–534. doi:10.1007/BF01208503. Afrit af upprunalegu geymt þann 3. september 2014.
• Hilton, Peter (1988). „A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in this Century“. Mathematics Magazine. 60 (5): 282–91. JSTOR 2689545.
• Hopf, Heinz (1928). „Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel“. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse (þýska). 2: 127–36.
• James, Ioan (2002). Remarkable Mathematicians from Euler to von Neumann. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81777-6.
• Kimberling, Clark (1981), „Emmy Noether and Her Influence“, Í Brewer, James W.; Smith, Martha K. (ritstjórar), Emmy Noether: A tribute to her life and work, New York: Marcel Dekker, bls. 3–61, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Lam, Tsit Yuen (1981), „Representation Theory“, Í Brewer, James W.; Smith, Martha K. (ritstjórar), Emmy Noether: A tribute to her life and work, New York: Marcel Dekker, bls. 145–56, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T. (2004), Symmetry and the Beautiful Universe, Amherst, MA: Prometheus Books, ISBN 978-1-59102-242-8
• Mac Lane, Saunders (1981), „Mathematics at the University of Göttingen 1831–1933“, Í Brewer, James W.; Smith, Martha K. (ritstjórar), Emmy Noether: A tribute to her life and work, New York: Marcel Dekker, bls. 65–78, ISBN 978-0-8247-1550-2
• Malle, Gunter; Matzat, Bernd Heinrich (1999), Inverse Galois theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62890-3, MR 1711577
• Noether, Gottfried E. (1987), Grinstein, L.S.; Campbell, P.J. (ritstjórar), Women of Mathematics, New York: Greenwood Press, ISBN 978-0-313-24849-8
• Noether, Max (1914), „Paul Gordan“, Mathematische Annalen, 75 (1): 1–41, doi:10.1007/BF01564521, afrit af upprunalegu geymt þann 4. september 2014
• Osen, Lynn M. (1974), „Emmy (Amalie) Noether“, Women in Mathematics, MIT Press, bls. 141–52, ISBN 978-0-262-15014-9
• Schmadel, Lutz D. (2003), Dictionary of Minor Planet Names (5th revised and enlarged. útgáfa), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00238-3
• Swan, Richard G (1969). „Invariant rational functions and a problem of Steenrod“. Inventiones Mathematicae. 7 (2): 148–58. Bibcode:1969InMat...7..148S. doi:10.1007/BF01389798.
• Taussky, Olga (1981). „My Personal Recollections of Emmy Noether“. Í Brewer, James W.; Smith, Martha K (ritstjórar). Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work. New York: Marcel Dekker. bls. 79–92. ISBN 978-0-8247-1550-2.
• Tent, M.B.W. (2008), Emmy Noether: The Mother of Modern Algebra, CRC Press
• van der Waerden, B.L. (1935), „Nachruf auf Emmy Noether“ [obituary of Emmy Noether], Mathematische Annalen (þýska), 111: 469–74, doi:10.1007/BF01472233, afrit af upprunalegu geymt þann 3. september 2014. Reprinted in Dick 1981
• ——— (1985), A History of Algebra: from al-Khwārizmī to Emmy Noether, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-13610-3
• Weyl, Hermann (1935), „Emmy Noether“, Scripta Mathematica, 3 (3): 201–20 Reprinted as an appendix in Dick (1981).
• Weyl, Hermann (1944), „David Hilbert and his mathematical work“, Bulletin of the American Mathematical Society, 50 (9): 612–54, doi:10.1090/S0002-9904-1944-08178-0, MR 0011274