Regla Pýþagórasar

Regla Pýþagórasar, Pýþagórasarregla eða setning Pýþagórasar er regla í evklíðskri rúmfræði sem fjallar um tengslin milli lengda hliðanna í rétthyrndum þríhyrningi. Reglan er kennd við forngríska heimspekinginn, trúarleiðtogann og stærðfræðinginn Pýþagóras, þó að vitað sé að reglan hafi þekkst fyrir tíma hans bæði í Babýlóníu og Kína, en talið er að hann hafi verið fyrstur til að sanna að hún gilti fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga.

Reglan er grundvallarregla í ýmsum rúmfræðireikningi, t.a.m. hnitarúmfræði og hornafræði.

Reglan

Mynd sem sýnir þrjá ferhyrninga sem mynda rétthyrndan þríhyrning sín á milli

Ef gefinn er rétthyrndur þríhyrningur segir reglan til um að ef lögð eru saman önnur veldi skammhliða þríhyrningsins jafngildi sú summa öðru veldi langhliðarinnar.

Setja má regluna fram sem svo að ef smíðaðir eru þrír ferningar, þar sem hver hinna þriggja hliða þríhyrningsins jafngildir hliðarlengd eins fernings, er samanlagt flatarmál minni ferninganna tveggja jafnt flatarmáli þess stærsta.

Framsetning reglunnar á algebraískan máta er: $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,\!$, þar sem a og b eru skammhliðar og c er langhlið.

Sönnun

Til eru fjölmargar mismunandi sannanir á reglu Pýþagórasar. Þægilegt er að sanna hana út frá reglum um einshyrnda þríhyrninga og er þá farið þannig að:

Látum þríhyringinn ABC tákna rétthyrndan þríhyrning (sjá mynd að neðan) þar sem hornið C er rétt. Frá horninu C er dregin lína hornrétt á hliðina AB sem mætir AB í punktinum X. Þá myndast tveir nýir þríhyrningar, ACX og CBX. Þessir þríhyrningar og ABC eru allir einslaga.

Nefnum nú hliðarnar BC, AC og AB a, b og c í þeirri röð. Vegna einslögunar þríhyrninganna gildir svo:

${\frac {a}{c}}={\frac {BX}{a}}{\mbox{ og }}{\frac {b}{c}}={\frac {AX}{b}}.\,$

og því hægt að skrifa

$a^{2}=c\times BX{\mbox{ og }}b^{2}=c\times AX.\,$

Ef lagt er saman a² og b² þá fæst

$a^{2}+b^{2}=c\times BX+c\times AX=c\times (BX+AX).\,\!$

Þar sem $(BX+AX)=c\,\!$ getum við skrifað

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!$

Sem einmitt er regla Pýþagorasar

Sönnun lokið.

Ítarefni

Í bókinni Pythagorean Triangles (Trójkaty pitagorejskie) sýndi Waclaw Sierpinski fram á að til væru óendanlega margir þríhyrningar gerðir úr heiltölum. Þessir þríhyrningar eru kallaðir pýþagórískir þríhyrningar. Einnig er talað um pýþagórískar þrenndir (a, b, c) þar sem a, b og c eru jákvæðar heiltölur, sem uppfylla skilyrðið a² + b² = c².

Tengt efni

• Fjarlægðarformúlan
• Pýþagórískur þríhyrningur