Regla Pýþagórasar

stærðfræðiregla
(Endurbeint frá Pýþagórasarregla)

Regla Pýþagórasar,[1][2] Pýþagórasarregla[3] eða setning Pýþagórasar[3] er regla í evklíðskri rúmfræði sem fjallar um tengslin milli lengda hliða í rétthyrndum þríhyrningi. Reglan er kennd við forngríska heimspekinginn, trúarleiðtogann og stærðfræðinginn Pýþagóras, þó að vitað sé að reglan hafi þekkst fyrir tíma hans bæði í Babýlóníu og Kína, en talið er að hann hafi verið fyrstur til að sanna að hún gilti fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga.

Reglan er grundvallarregla í ýmsum rúmfræðireikningi, t.a.m. hnitarúmfræði og hornafræði.

Reglan breyta

 
Mynd sem sýnir þrjá ferhyrninga sem mynda rétthyrndan þríhyrning sín á milli

Setningin segir að í rétthyrndum þríhyrning er summa ferninga skammhliðanna jöfn ferningnum á langhliðina.

Ef hliðarlengdir þríhyrningsins eru a, b, c, þar sem c er langhliðin, gildir því

 .

Ef smíðaðir eru þrír ferningar, þar sem hver hinna þriggja hliða þríhyrningsins jafngildir hliðarlengd eins fernings, er samanlagt flatarmál minni ferninganna tveggja jafnt flatarmáli þess stærsta.

Sönnun breyta

Til eru fjölmargar mismunandi sannanir á reglu Pýþagórasar[4]. Eftirfarandi sönnun byggir á reglu um einslaga þríhyrninga.

Látum þríhyringinn ABC vera þannig að hornið C er rétt. Drögum línuna CX hornrétt á hliðina AB. Þá myndast tveir nýir þríhyrningar, ACX og CBX. Þessir þríhyrningar eru báðir einslaga þríhyrningnum ABC.

 

Þar sem   er  , og þar sem   er  .

Því fæst

 
Þar sem   fáum við að

 .

Skrifum  , svo að

 

eins og sanna átti.

Tengt efni breyta


Tilvísanir breyta

  1. „Hvernig er regla Pýþagórasar sönnuð?“. Vísindavefurinn.
  2. Regla Pýþagórasar á Rasmus
  3. 3,0 3,1 „theorem of Pythagoras“. Afrit af upprunalegu geymt þann 5. mars 2016. Sótt 25. maí 2011.
  4. „Pythagorean Theorem and its many proofs“. www.cut-the-knot.org. Sótt 14. ágúst 2023.