Tvinnfallagreining

Tvinnfallagreining er sá armur stærðfræðinnar sem fjallar um föll sem eru skilgreind á hlutmengjum tvinntalnasléttunnar $\mathbb {C}$, s.k. tvinngild föll. Föll, skilgreind á allri tvinntalnasléttunni nefnast heil föll. Þó að svo virðist ekki í fyrstu hefur hún mikið notagildi í raunveruleikanum, til dæmis má beita aðferðum tvinnfallagreiningar við að reikna út ýmis heildi úr raunfallagreiningu á auðveldan hátt.

Margt sérkennilegt gerist á tvinnsléttunni. Hér sést tölugildið af gammafallinu.

Líkt og raunfallagreining einbeitir sér að samfelldum og diffranlegum föllum eru mikilvægu föllin í tvinnfallagreiningu svokölluð fáguð föll. Hægt er að skilgreina þau á nokkra jafngilda vegu, en einn þeirra er að fall sé fágað ef það er $\mathbb {C}$-deildanlegt í sérhverjum punkti; það er ef markgildið

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$

er til fyrir öll z í skilgreiningarmengi fallsins. Athugið að hér má breytan h taka tvinntölur sem gildi.

Tvinnfallagreining er þó talsvert frábrugðin raunfallagreiningunni sem hún sprettur upp úr. Sem dæmi má nefna að fáguð föll geta ekki haft staðbundna hágildispunkta nema þau séu föst, fágaðar varpanir eru alltaf opnar og að ef tvö fáguð föll taka sömu gildi á mengi sem inniheldur þéttipunkt eru þau sama fallið. Samsvarandi fullyrðingar í raunfallagreiningu eru langt frá því að vera sannar.

Upphaf og saga

Tvinnfallagreining í þeirri mynd sem við þekkjum í dag er tiltölulega ung grein innan stærðfræðinnar, upphaf hennar má rekja til byrjun 19. aldar, þó að tvinntölurnar hafi verið þekktar í einhverri mynd frá 16. öld. Þennan tímamun má að mestu leyti rekja til þess að framan af voru tvinntölur frekar óljóst fyrirbæri. Það var ekki fyrr en menn fóru að setja þær fram í tvívíðu hnitakerfi, og seinna þegar William Hamilton lagði traustan grunn að þeim, að tvinntölur fengu sama þegnrétt og rauntölur innan stærðfræðinnar.

Margir af helstu stærðfræðingum síðari tíma hafa lagt eitthvað af mörkum til tvinnfallagreiningar, svo sem Carl Friedrich Gauß og Leonhard Euler, en nöfnin sem koma upp aftur og aftur eru Bernard Riemann og Augustin Cauchy. Riemann er sennilega best þekktur fyrir tilgátu sína um núllstöðvar zetafallsins, sem kölluð er Riemann tilgátan, og ein af mikilvægustu setningum tvinnfallagreiningarinnar er kennd við Cauchy. Báðir lögðu þeir mikið af mörkum, en með ólíkum hætti. Á meðan Cauchy leit á tvinnfallagreiningu sem undirflokk raunfallagreiningar í fleiri en einni breytistærð sá Riemann hana fyrir sér á rúmfræðilegri hátt. Bæði sjónarmiðin eru enn við lýði í dag og þykir það hverjum manni hollt að kynnast þeim báðum, séu þeir að fást við tvinnfallagreiningu á annað borð.

Í dag fara helstu rannsóknir fram í margvíðri tvinnfallagreiningu, sem er talsvert ólík tvinnfallagreiningu í einni breytistærð. Þó er tvinnfallagreining í einni breytistærð ennþá mikilvæg sökum snertiflatar hennar við talnafræði, en mörg vandamál í talnafræði má líta á sem vandamál í tvinnfallagreiningu og leysa þau þar. Sem dæmi má nefna að tilgáta Riemanns tengist nokkuð óvænt spurningu um dreifingu frumtalnanna.

Helstu niðurstöður

Ein af undirstöðusetningum tvinnfallagreiningar er setning Cauchys, en í einni mynd segir hún að ef U er stjörnusvæði í $\mathbb {C}$ og f fágað fall á U, þá er

$\int _{\gamma }f(z)dz=0$

fyrir sérhvern lokaðan veg γ í U. Til eru almennari útgáfur af Cauchy-setningunni en athyglisverð afleiðing af henni er svokölluð Cauchy-formúla, sem segir að ef U er stjörnusvæði og γ vegur sem sker sjálfan sig aldrei, þá gildir um öll z í innmengi vegarins að

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta$

en það segir okkur að gildi fallsins f innan ferilsins ákvarðast algerlega af gildum þess á honum. Önnur mikilvæg niðurstaða er undirstöðusetning algebrunnar, sem segir að sérhver margliða yfir tvinntölurnar hafi núllstöð í $\mathbb {C}$. Af mörgum fallegum niðurstöðum er að taka, en við látum nægja að nefna eina í viðbót, sem er stóra setning Picards. Hún segir að ef fágað fall f er heilt, það er skilgreint á öllu $\mathbb {C}$, þá taki það öll - nema í mesta lagi eitt - gildi í tvinntalnasléttunni, annars sé það fast. Eins og svo oft áður eru engar sambærilegar niðurstöður til í raunfallagreiningu.