Sigma-algebra

Í stærðfræði er σ-algebra (borið fram sigma algebra) mengjaalgebra að viðbættu því skilyrði að sammengi teljanlega margra mengja í algebrunni eru einnig í algebrunni. Hugmyndin um σ-algebrur er notuð til að skilgreina mál og málrúm sem eru viðfangsefni málfræðinar sem er mikilvæg meðal annars vegna þess hún er undirstaða líkindafræðinar og grundvöllurinn að Lebesgue heildum sem eru mun almennari en hin klassísku Riemann heildi.

Hugmyndin

Í tilraun til þess að skilgreina mælikvarða fyrir mengi, það er að segja úthluta hverju hlutmengi fasta tölu sem gefur til kynna stærð þess (lengd eða rúmmál til dæmis), komust menn að því að sumum mengjum var ekki hægt gefa stærð öðruvísi en að tapa einhverjum af þeim eiginleikum sem við viljum að mælikvarði hafi, svo sem að summa stærða tveggja sundurlægra mengja sé jöfn stærð sammengis þeirra, að eiginlegt hlutmengi mengis sé minna að stærð en mengið allt, við viljum að summa partanna sé jöfn heildinni o.s.frv. Dæmigert mengi hins vegar, eins og bilið [0,1] sem við hugsum okkur að hafi lengdina einn, inniheldur óendanlega marga punkta sem hafa lengdina núll, summa þeirra $0\cdot \infty$ er ekki skilgreind stærð hins vegar. Það eru líka jafnmargir punktar í bilunum [0,1] og [0,2] (höfum gagntæka vörpun $x\mapsto 2x$ milli mengjana), en við segjum samt að bilið [0,2] sé tvöfalt lengra en [0,1]. Vandamálið er þó ekki bundið við óendanleikan því jafnvel þótt við skiptum menginu upp í endanlega marga parta getum við lent í vandræðum samanber Banach–Tarski þversögnina. Ef mál er skilgreint sem vörpun frá mengi yfir á útvíkkaða jákvæða rauntalnaásin er vel þekkt að ekkert mál á veldamengi rauntalna uppfyllir öll þau skilyrði sem við viljum að mælikvarði hafi (sjá Vitali mengi). Þetta leiddi til þess að menn takmörkuðu sig við ákveðna tegund mengja sem kölluð eru mælanleg mengi, mengi sem varðveita þá eiginleika sem við viljum að mál hafi. Hlutmengi σ-algebru varðveita þessa eiginleika.

Formleg skilgreining

Látum X vera mengi og P(X) vera veldamengi þess. Hlutmengi Σ ⊂ P(X) er σ-algebra ef það uppfyllir eftirfarandi skilyrði:

1. Tómamengið er stak í Σ.
2. Ef E er stak í Σ, þá er fyllimengi þess einnig í Σ.
3. Ef $E_{1},E_{2},E_{3},...$ er teljanleg mengjaruna í Σ þá er sammengi þeirra allra einnig í Σ.

Það leiðir af 1 og 2 að X er stak í Σ. Af 2 og 3 leiðir að teljanlega mörg sniðmengi eru í Σ, samanber reglur De Morgans. Mismengi tveggja mengja úr Σ er einnig í Σ. Af þessu sjáum við að Σ er baugur (inniheldur tómamengið og er lokað með tilliti til sammengja og mismengja), sér í lagi σ-baugur því hann inniheldur sammengi teljanlegra margra mengja úr baugnum og að lokum algebra vegna þess Σ inniheldur sjálft X. Σ er líka svið og þess vegna stundum kallað σ-svið.

Eins og kom fram í inngangi eru σ-algebrur notaðar til að skilgreina málrúm, þrenndin (X,Σ,μ) er málrúm, þar sem X er gefið mengi, Σ sigma algebra þess og μ er mál á Σ. Stök Σ eru sögð vera mælanleg. Þetta er ekki eina skilgreiningin sem hefur verið notuð í málfræði, upprunalega notaðist Kolmogorov við algebrur og Halmos notaði σ-bauga.

σ-algebrur eru stundum táknuð með stórum stöfum af Fraktur leturgerð. Því gæti ${\mathfrak {F}}$ verið notað til að tákna (X,Σ). Stundum er notast við „skrifaða“ stafi í stað Σ, til dæmis væri $(X,{\mathcal {A}})\,\;$ notað í stað $(X,\Sigma )$. Þetta getur verið gagnlegt til þess að forðast misskilning þar sem að Σ er gjarnan notað sem summuvirki.

Dæmi

Fyrir gefið mengi X er minnsta sigma algebran $\{\emptyset ,X\}$ og stærsta sigma algebran veldamengið P(X).

Í líkindafræði er $\Omega$ látið tákna mengi allra hugsanlegra útkoma úr einhverri aðgerð, til dæmis teningakasti. Þá er safn allra atburða, þ.e. hlutmengja í $\Omega$ σ-algebra. Þ.e., $\Omega$ er atburður, ef $A$ er atburður er $A^{\mathbf {c} }$ atburður, og ef $A_{1},A_{2},...$ eru atburðir er $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ einnig atburður.

Á Evklíðska rúminu $\mathbb {R} ^{n}$ er til önnur mikilvæg σ-algebra: fjölskylda allra Lebesgue-mælanlegra mengja. Það inniheldur fleiri mengi en Borel algebran á $\mathbb {R} ^{n}$ og er mjög mikilvægt í tegurfræði.

Tengt efni

• Svið mengja
• Mælanlegt fall
• Úrtaksrúm
• Lebesgue-heildið
• Mál
• Líkindamál

Heimildir

• Fyrirmynd greinarinnar var „Sigma-algebra“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 9. janúar 2006.
• Inngangur að líkinda- og tölfræði, hefti eftir Hermann Þórisson og Skúla Hauk Sigurðarson, 2005.
• Introduction to Probabilty and Statistics for Engineers and Scientists, þriðja útgáfa, Sheldon M. Ross, 2004. ISBN 0-12-598057-4