Staðall (stærðfræði)

Staðall (einnig nefndur norm) í stærðfræði er tiltekið fall, táknað með einu eða tveim lóðréttum strikum sitthvoru megin við stak v í vigurrúmi V, þ.e. ||v|| eða |v|, og gefur jákvæða tölu fyrir hvern vigur, nema núllvigurinn, en staðall hans er núll. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við firð í firðrúmi.

Skilgreining

Látum $\mathbb {F}$ vera svið sem er annaðhvort rauntölusviðið $\mathbb {R}$ eða tvinntölusviðið $\mathbb {C}$. Látum $V$ vera vigurrúm yfir $\mathbb {F}$.

Staðall á $V$ er vörpun $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R}$ sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði:

1. $\|x\|\geq 0$ fyrir öll $x\in V$
2. $\|x\|=0$ ef og aðeins ef $x=0$
3. $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|$ fyrir öll $x\in V$ og fyrir öll $\alpha \in \mathbb {F}$
4. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ fyrir öll $x,y\in V$

Algengir staðlar vigurrúma

• Evklíðski staðllinn

$\|\mathbf {x} \|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

er algengasti staðallinni í Rⁿ. gefur stærð vigurs skv. reglu Pýþagórasar.

• 1-staðllinn

$\|\mathbf {x} \|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.$

• p-staðallinn

$\|\mathbf {x} \|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

þar sem p≥ 1 . (p = 1 og p = 2 gefa staðlana hér að ofan.)

• Óendanlegi staðallinn

$\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).$

Línlegar varpanir

Fyrir sérhverja gagntæka, línulega vörpun A má reikna staðal staks x þannig:

$\|A\mathbf {x} \|.$

Eiginleikar staðla

Tveir staðlar ||•||_α og ||•||_β í vigurrúmi V eru sagðir jafngildir ef til eru jákvæðar rauntölur C og D þ.a.

$C\|\mathbf {x} \|_{\alpha }\leq \|\mathbf {x} \|_{\beta }\leq D\|\mathbf {x} \|_{\alpha }$

fyrir öll x í V.

Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru $l_{1}$, $l_{2}$ og $l_{\infty }$ staðlarnir jafngildir í $\mathbb {R} ^{n}$:

$\|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|\mathbf {x} \|_{2}$

$\|\mathbf {x} \|_{\infty }\leq \|\mathbf {x} \|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|\mathbf {x} \|_{\infty }$

$\|\mathbf {x} \|_{\infty }\leq \|\mathbf {x} \|_{1}\leq n\|\mathbf {x} \|_{\infty }$

Tengt efni

• Banach-rúm
• Fullkomið mengi
• Staðlað vigurrúm