Firð

Firð (e. metric) í stærðfræði er fall $d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$, þar sem $M$ er mengi, sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði fyrir sérhver $a,b,c\in M$.

• $d(a,a)=0$.
• $d(a,b)>0$ ef $a\neq b$.
• $d(a,b)=d(b,a)$, þ.e. $d$ er samhverft.
• $d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$, þ.e. $d$ uppfyllir þríhyrningsójöfnu.

Tvenndin $(M,d)$ er nefnd firðrúm.

Það má ímynda sér að firð sé formleg skilgreining á fjarlægð eða lengd. Við sjáum að við tölum aldrei um neikvæðar fjarlægðir milli staða, þær eru samhverfar (það er jafnlangt frá Reykjavík til Húsavíkur, og frá Húsavík til Reykjavíkur), og uppfylla þríhyrningsójöfnu (að koma við í einhverjum punkti er vissulega ekki styttra en að ganga eftir beinni línu).

Dæmi

• Sú firð sem við notum á rauntalnaásnum er oft kölluð venjulega firðin á ($\mathbb {R}$ er $d(a,b)=|a-b|$ þar sem $a,b\in \mathbb {R}$. Sem dæmi er firðin milli punktanna 3.5 og -2 jöfn $d(3.5,-2)=|3.5-(-2)|=5.5$. Þegar lengra er haldið er $(d,\mathbb {R} )=(|\cdot |,\mathbb {R} )$ nefnt $L_{1}$-rúm.
• Í tvívíðu rúmi er gjarnan notuð Evklíðska firðin á $\mathbb {R} ^{2}$ og er skilgreind sem $d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$ þar sem $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$. Hún er oft táknuð sem $\|\cdot \|$. Takið eftir því hvað formúlan svipar til Pýþagórasarreglu - þetta er að sjálfsögðu ekki tilviljun. Tvenndin $(\|\cdot \|,\mathbb {R} ^{2})$ er kölluð $L_{2}$-rúm
• Einnig er mögulegt að skilgreina firð á strjált mengi, t.d. mætti skilgreina firð á mengi íslenskra orða sem minnsta fjölda eins-stafs breytinga (þ.m.t. viðbætur eða eyðingar) sem þarf til að breyta einu orði í annað. Sem dæmi væri firðin milli Spergilkál og Meginmál 5.