Opna aðalvalmynd

Talnamengi er mengi talna. Hér verður fjallað um nokkur sérstök talnamengi sem flokkuð eru eftir eiginleikum talnanna sem í þeim eru.

Fyrst má nefna náttúrlegu tölurnar. Þær eru kallaðar náttúrlegar þar sem að þær líkjast því sem við eigum að venjast úr náttúrunni - til náttúrlegra talna teljast tölurnar 1, 2, 3, 4,..., en þær eru óendanlega margar. Náttúrlegar tölur eru táknaðar með . Náttúrlegar tölur má skilgreina mengjafræðilega með aðferðum í Zermelo-Fraenkel mengjafræði, sem tengjast valfrumsemdunni.

Talan núll hefur valdið mönnum mikil heilabrot alla tíð. Þar sem að tölur táknuðu upphaflega fjölda, hvernig gat ekkert talist sem fjöldi? Sifja alls var þó að lokum tekin í sátt og gefið táknið 0. Það var innleitt inn í náttúrlegu tölurnar í sértilfelli, og er það mengi kallað .

Fljótlega kom í ljós að ekki var hægt að stunda frádrátt í öllum tilfellum ef að tölurnar geta ekki verið neikvæðar. Lengi vel voru neikvæðar tölur taldar ónáttúrlegar, en fólk féllst þó á að leyfa þeim að heita tölur og gaf fólk þeim mengjanafnið , sem er komið af þýska orðinu zahlen, eða tölurnar. Þessar tölur eru kallaðar heilar tölur: ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...

Nú gátu menn lagt saman, margfaldað, og dregið frá eftir hentisemi, en þó var enn ógjörningur að deila í öllum tilfellum, þó svo að menn sáu mjög augljóslega að deiling var til í dæminu - ef að brauði var skipt í tvennt þá voru tveir helmingar eftir. Nú datt mönnum til hugar að skýrt yrði að rita slíkar deilingar sem almenn brot, og tölur sem skrifaðar væru á þann hátt væru ræðar tölur - tölur sem hægt er að skrifa á forminu þar sem að p og q eru stök í . Allar tölur sem er hægt að skrifa á þann hátt eru stök í - mengi ræðra talna.

Ekki leið á löngu þar til að fólk sá að það vantaði ofsalega margar tölur. Þá helst tók fólk eftir að Pýþagórasarreglan var óútreiknanleg í sumum tilfellum - til dæmis þegar að skammhliðar þríhyrningsins voru hvor um sig 1 að lengd. Samkvæmt reglu Pýþagórasar yrði langhliðin þá að vera , og með nokkuð einfaldri sönnun sést að er ekki ræð tala. Þær tölur sem ekki eru ræðar eru nú kallaðar óræðar tölur, táknaðar með , en sammengið er mengi rauntalna.

Sumt var þó ekki hægt að reikna með þeim óendanlega fjölda samfelldu talna sem rauntalnamengið bauð upp á. Því voru tvinntölur innleiddar - til þess að ávallt væri til lausn við annars stigs jöfnu. Tvinntölur voru uppgötvaðar af þremur stærðfræðingum - Caspar Wessel, Carl Friedrich Gauss (Carl Friedrich Gauß) og William Hamilton - í lok 18. aldar og snemma á 19. öld. Þær voru hugsaðar sem framlenging á þar sem að innfeldi væri skilgreint. Mengi tvinntalna er táknað með .

Mengi tvinntalna er sagt vera algebrulega fullkomið, þar sem að núllstöðvar allra tvinngildra margliða eru tvinntölur. Þessi staðreynd er þekkt sem undirstöðusetning algebrunnar.