Regla Rolles

Regla Rolles í örsmæðareikningi segir að sérhvert diffranlegt rauntalnafall sem ekki er eintækt hljóti að hafa útgildispunkt á milli þeirra x-gilda sem fallið varpar í sama fallgildi. Þ.e. að til sé punktur þar sem afleiða fallsins er 0.

Regla Rolles.

Regla Rolles er í raun hjálparregla til að sanna meðalgildisreglu diffurreiknings.

Saga

Fyrsta þekkta dæmið um þekkingu á reglu Rolles er frá Indverska stærðfræðingnum Bhāskara II (1114–1185). Michel Rolle kom hins vegar með fyrstu formlegu sönnunina á reglunni árið 1691 og notaði þá diffrun til að sanna regluna. Nafnið "regla Rolles" (e. Rolle's theorem) var fyrst notað af Þjóðverjanum Moritz Wilhelm Drobisch árið 1834 og Ítalanum Giusto Bellavitis árið 1846.

Formleg framsetning reglunnar

Gerum ráð fyrir að fall f sé samfellt á lokaða bilinu [a;b]⊆$\mathbb {R}$ og diffranlegt á opna bilinu ]a;b[ og að f(a)=f(b). Þá er til c∈]a;b[ þannig að f'(c)=0.

Sönnun

Skiptum sönnun þessarar reglu í tvö hluta.

I) Gerum fyrst ráð fyrir að fallið f sé fastafall, f(x)=k. Þá er f'(c)=0 sama hvernig c∈]a;b[ er valið.

II) Gerum síðan ráð fyrir að f sé ekki fastafall. Því að f er samfellt á lokuðu og takmörkuðu bili [a;b] tekur f bæði stærsta og minnsta gildi á bilinu (því að ef fall f er samfellt á lokuðu og takmörkuðu bili I þá tekur f bæði stærsta og minnsta gildi á I). Þessi gildi geta ekki bæði verið í endapunktum bilsins því að þá væri f(a)=f(b) þannig að þá væri fallið fastafall því að stærsta og minnsta gildi þess væri sama talan. Fallið hefur því annaðhvort stærsta eða minnsta gildi í c∈]a;b[ sem þýðir að f(c) er útgildi svo að f'(c)=0 (því að ef fall er diffranlegt á bili I og hefur útgildi í x₀∈I þá er f'(x₀)=0).

Heimildir

Birgir Guðjónsson, Gylfi Guðnason og Yngvi Pétursson. Stærðfræði handa 5. bekk náttúrufræðibrautar. Menntaskólinn í Reykjavík. 2014.

Vignir Már Lýðsson. „Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna?“. Vísindavefurinn 5.8.2008. http://visindavefur.is/?id=47964. (Skoðað 14.2.2015).