Innfeldi (oft kallað punkt- eða depilmargfeldi ) er tvílínulegur virki , sem skilgreindur er á vigurrúmi . Er ýmist táknuð með tveimur oddklofum,
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle a,b\rangle }
a
⋅
b
{\displaystyle a\cdot b}
innfeldisrúm .
Látum
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
rauntölusviðið
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
tvinntölusviðið
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
V
{\displaystyle V}
vigurrúm yfir
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
Innfeldi
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
V
{\displaystyle V}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
V
×
V
→
F
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {F} }
x
,
y
,
z
∈
V
{\displaystyle x,y,z\in V}
a
∈
F
{\displaystyle a\in \mathbb {F} }
⟨
x
,
y
⟩
=
⟨
y
,
x
⟩
¯
{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}
⟨
a
x
,
y
⟩
=
a
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle }
⟨
x
+
y
,
z
⟩
=
⟨
x
,
z
⟩
+
⟨
y
,
z
⟩
{\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }
⟨
x
,
x
⟩
∈
R
{\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }
⟨
x
,
x
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}
⟨
x
,
x
⟩
=
0
{\displaystyle \langle x,x\rangle =0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Venjulega innfeldið á
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Evklíðskt rúm ) er skilgreint þannig:
a
⋅
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
=
∑
k
=
1
n
a
k
⋅
b
k
{\displaystyle a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}}
a
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}
b
=
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}
Einnig má finna innfeldi tveggja vigra með því að margfalda saman lengdir þeirra og kosínus af horninu milli þeirra:
a
⋅
b
=
‖
a
‖
‖
b
‖
cos
(
θ
)
{\displaystyle a\cdot b=\|a\|\|b\|\cos(\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
a og b .Þá er maður í raun að ofanvarpa öðrum vigrinum á hinn og margfalda svo saman lengdir þeirra.
Innföldun er víxlin og dreifin aðgerð.
Algengt er að nota innfeldi til að finna horn milli tveggja vigra ef hnit þeirra eru þekkt. Það má gera svona:
a
⋅
b
=
‖
a
‖
‖
b
‖
cos
(
θ
)
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
⇒
cos
(
θ
)
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
‖
a
‖
‖
b
‖
{\displaystyle a\cdot b=\|a\|\|b\|\cos(\theta )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\Rightarrow \cos(\theta )={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n} \over \|a\|\|b\|}}
‖
a
‖
{\displaystyle \|a\|}
lengd vigursins a .Mikilvægur eiginleiki innfelda er að innfeldi hornréttra vigra er núll. Það er auðvelt að sjá það því að þátturinn
cos
(
θ
)
{\displaystyle \cos(\theta )}
θ
=
90
∘
+
180
∘
k
{\displaystyle \theta =90^{\circ }+180^{\circ }k}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in Z}
