Ferillengd

Ferillengd er lengd ferils og er alltaf stærri en núll, en getur verið óendaleg.

Skilgreining

Ferlillengd L er skilgreind með eftirfarandi ferilheildi:

$L:=\int \limits _{ferill}^{}\mathrm {d} s,$

þar sem ds táknar „óendanlega lítinn bút“ af ferlinum og ferilheildið er reiknað eftir ferlinum.

Dæmi

Setjum að lýsa megi ferli í tvívíðri sléttu í með tvenndunum (x, y), þar sem x og y eru samfelld og deildanleg föll.

Stillum fyrst upp líkingunni fyrir „litla bútinn“ ds af ferlinum, þar sem við notum okkur reglu Pýþagórasar:

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}\,$ , sem gefur

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},\,$

en neikvæða rótin kemur vitaskuld ekki til greina, því ferillengd er alltaf stærri en núll.

Til að reika ferilheildið þarf að stika föllin x og y, t.d. með x := x(t) og y := y(t). Deilum því næst með dt og umritum:

$ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,dt$

þar sem yfirsettu punktarnir tákna fyrstu afleiður fallanna.

Innsetning gefur loks:

$L=\int {\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,dt=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(t)^{2}}}\ dt,$

þar sem notuð var stikunin x := t og y := f(t), en táknið ' merki fyrstu afleiðu fallsins f og ferillinn afmarkast af bilinu [a, b], þ.e. a ≤ t ≤ b.