Stærsti samdeilir

Stærsti samdeildir eða stærsti sameiginlegi deilir (skammstafað sem ssd) tveggja náttúrulegra talna er stærsta tala sem gengur upp í báðar tölurnar. Einfaldast er að finna stæsta samdeili með því að frumþátta báðar tölurnar, finna hvaða frumþættir eru sameiginlegir báðum tölunum og margfalda þá saman. Þá er stærsti samdeilir fundinn. Stærsti samdeilir náttúrulegu talnanna $a$ og $b$ er táknaður með $\operatorname {ssd} (a,b)$, og ef stærsti samdeilir þeirra er $1$ þ.e. $\operatorname {ssd} (a,b)=1$ teljast tölurnar ósamþátta og eiga þær þá enga sameiginlega frumþætti.

Dæmi

Finnum $\operatorname {ssd} (121,363)$.

Byrjum á að frumþátta: $121=11\times 11$ og $363=11\times 11\times 3$.

Sameiginlegu frumþættirnir eru $11$ og $11$ en $11\times 11=121$.

Þá er $\operatorname {ssd} (121,363)=121$

Þær tölur og aðeins þær tölur sem ganga upp í $\operatorname {ssd} (a,b)$ ganga upp í báðar tölurnar $a$ og $b$.

Minnsta samfeldi tveggja náttúrulegra talna er minnsta talan sem báðar tölurnar ganga upp í. Minnsta samfeldi náttúrulegu talnanna a og b er táknað með $\operatorname {msf} (a,b)=121$ Einfalt er að finna minnsta samfeldi. Tölurnar tvær eru raktar í frumþætti. Þá er búin til ný tala sem er margfeldi allra frumþátta úr tölunum tveimur, þó þannig að ef sami þáttur kemur fyrir í báðum tölum kemur hann aðeins einu sinni fyrir í nýju tölunni. Nýja talan er minnsta samfeldið.

Ef $a$ og $b$ eru náttúrulegar tölur þá gildir að margfeldi minnsta samfeldis og stærsta samdeilis er jafnt margfeldi $a$ og $b$, þ.e. $\operatorname {ssd} (a,b)=121\times \operatorname {msf} (a,b)=a\times b$.

Þetta verður augljóst þegar haft er í huga hvernig stærsti samdeilir og minnsta samfeldi eru búin til úr frumþáttum talnanna $a$ og $b$. Í $\operatorname {msf} (a,b)$ eru allir þættir talnanna tveggja, en þeir sem eru sameiginlegir koma bara einu sinni fyrir. Í $\operatorname {ssd} (a,b)$ eru sameiginlegu frumþættirnir og margfeldi $\operatorname {ssd} (a,b)$ og $\operatorname {msf} (a,b)$ inniheldur því alla frumþætti talnanna $a$ og $b$ og tvo af hverjum sameiginlegum þætti. Margfeldi $\operatorname {ssd} (a,b)$ og $\operatorname {msf} (a,b)$ er því margfeldi allra frumþátta talnanna tveggja sem er það sama og margfeldi talnanna sjálfra.

Heimild

• Stærðfræðivefur Kennaraháskóla Íslands, Guðmundur Birgisson, júní 2001