Minnsti samnefnari

Minnsti samnefnarinn eða minnsta samfeldi (skammstafað msn) er í stærðfræði sú tala sem er minnsta sameiginlega margfeldi nefnara í einhverju mengi almennra brota.

Minnsta samfeldi tveggja náttúrlegra talna er minnsta talan sem báðar tölurnar ganga upp í. Minnsta samfeldi náttúrlegu talnanna a og b er táknað með msn(a,b). Einfalt er að finna minnsta samfeldi. Tölurnar tvær eru raktar í frumþætti (sjá frumþáttun). Þá er búin til ný tala sem er margfeldi allra frumþátta úr tölunum tveimur, þó þannig að ef sami þáttur kemur fyrir í báðum tölum kemur hann aðeins einu sinni fyrir í nýju tölunni. Nýja talan er minnsta samfeldið.

Ef a og b eru náttúrlegar tölur þá gildir að margfeldi minnsta samfeldis og stærsta samdeilis er jafnt margfeldi a og b, þ.e. ssd(a,b) ∙ msn(a,b) = a ∙ b

Þetta verður augljóst þegar haft er í huga hvernig stærsti samdeilir og minnsta samfeldi eru búin til úr frumþáttum talnanna a og b. Í msn(a,b) eru allir þættir talnanna tveggja, en þeir sem eru sameiginlegir koma bara einu sinni fyrir. Í ssd(a,b) eru sameiginlegu frumþættirnir og margfeldi ssd(a,b) og msn(a,b) inniheldur því alla frumþætti talnanna a og b og tvo af hverjum sameiginlegum þætti. Margfeldi ssd(a,b) og msn(a,b) er því margfeldi allra frumþátta talnanna tveggja sem er það sama og margfeldi talnanna sjálfra.

Dæmi

Sem dæmi, ef við höfum almennu brotin

$\left\{{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right\}\!$

þá sjáum við að minnsti samnefnari þeirra er 4, þar sem 4 er minnsta sameiginlega margfeldi 2 og 4. Sömuleiðis fáum við að minnsti samnefnari fyrir

$\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right\}\!$

er 6. Minnsti samnefnari gerir okkur kleift að framkvæma samlagningu og frádrátt á almenn brot:

• ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {2+3}{6}}={\frac {5}{6}}\!$

• $1-{\frac {2}{3}}={\frac {3}{3}}-{\frac {2}{3}}={\frac {3-2}{3}}={\frac {1}{3}}\!$

Heimild

• Stærðfræðivefur Kennaraháskóla Íslands, Guðmundur Birgisson, júní 2001