Mandelbrot mengið

Mandelbrot mengið er stærðfræðilegt mengi sem lýsir brotamynd. Það er skilgreint sem mengi allra punkta c í tvinntölusléttunni þar sem að runan $Z_{n+1}=Z_{n}^{2}+C$ fyrir öll $Z,C\in \mathbb {C}$ þar sem að $Z_{0}=0$ og $Z_{n}$ hneigist ekki að óendanleika.

Þetta þýðir, í mannlegu máli, að tölurnar Z og C eru tvinntölur, og að $Z_{n+1}=Z_{n}^{2}+C$ er runa sem leggur alltaf saman ferninginn af síðustu útkomu rununar samanlagt við ákveðinn frumstilli (Seed). Ef að runan með gefnum frumstilli c heldur sér innan endanlegra marka um óendanlegt skeið telst frumstillirinn til mengisins.

Hér er rununni lýst stærðfræðilega:

c=x+iy\,\!

Z_{0}=0\,\!

{\begin{matrix}Z_{1}&=&Z_{0}^{2}+c\\\ &=&x+iy\end{matrix}}\,\!

{\begin{matrix}Z_{2}&=&Z_{1}^{2}+c\\\ &=&(x+iy)^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}+2ixy-y^{2}+x+iy\\\ &=&x^{2}-y^{2}+x+(2xy+y)i\end{matrix}}\,\!

Z_{3}=Z_{2}^{2}+c=...\,\!

Þetta mengi gefur mjög fallega mynd, en punktarnir í tvinnsléttunni eru gjarnan litaðir eftir því hversu margar endurtekningar á rununni þarf til þess að nálgast hnitið, og verður myndin því áhugaverðari eftir því sem að dýpra er farið ofan í rununa. Hér má sjá merkt í hverri útgáfu myndarinnar hversu djúpt farið er, þ.e., hvert hæsta gildið á n er fyrir $Z_{n}=Z_{n-1}^{2}+C$ :

Það sem gerir þetta svo merkilegt er að þessi mynd er brotamynd. Það er að segja, myndin er samansett úr óteljandi smærri útgáfum af sjálfri sér. Því má sjá sama form birtast aftur ef að brotamyndin er stækkuð upp. Hér til hægri má t.d. sjá stærsta eintakið af mandelbrotsmyndinni innan mengisins, en hún er um 70000 sinnum smærri en heildareintakið. Þar sem að Mandelbrot mengið er ekki fullkomin brotamynd á borð við Sierpinski teppið eða Koch snjóflöguna, kemur upp villa í smækkaðri endurtekningu myndarinnar (pertubations).

Mandelbrot mengið er ávallt til innan endanlegra marka, en þau mörk eru hringur, 2 að þvermáli, með miðju í hnitunum (0,0).

Saga mengisins

Mandelbrot mengið var fyrst skilgreint árið 1905 af Pierre Fatou, frönskum stærðfræðingi sem vann á sviði tvinnfallagreiningar. Fatou rannsakaði runur á borð við $z\to z^{2}+c$ , þar sem að hann hóf útreikninga frá punkti $z_{0}$ á tvinnsléttunni. Punktar sem komu út frá því urðu til með því að endurtaka formúluna, og gaf runan því sporbraut umhverfis $z_{0}$ í formi

$z\to z^{2}+c\to (z^{2}+c)^{2}+c\to ((z^{2}+c)^{2}+c)^{2}+c\to ...$

Fatou áttaði sig á því að sporbraut $z_{0}=0$ í þessari runu myndi gefa smá vísbendingu um hegðun slíkra kerfa. Það eru til óendanlega mörg slík föll, eitt fyrir hvert mögulegt gildi á c. Fatou hafði hins vegar ekki aðgang að tölvu sem gat reiknað út sporbrautir allra þessarra falla, þannig að hann reyndi að handreikna það. Hann sýndi fram á það að um leið og punktur myndi færa sig í radíus $>2$ frá upphafspunkti hnitakerfisins myndi sporbrautin sleppa út í óendanleika.

Fatou sá aldrei mynd af því sem við þekkjum í dag sem Mandelbrot mengið, þar sem að fjöldi útreikninga sem þörf er á til þess að búa til slíka mynd er töluvert fleiri en mögulegt er að handreikna. Benoit Mandelbrot var fyrsti maðurinn sem notaði tölvu til þess að teikna þetta mengi, og er mengið því nefnt í höfuðið á honum.

Brotamyndir (enska: fractals) urðu vinsælar þegar að Benoit Mandelbrot gaf út bókina sína Les Objects Fractals: Forme, Hazard et Dimension árið 1975. Í þeirri bók notar Mandelbrot hugtakið fractal, brotamynd, til þess að lýsa fjöldan allan af stærðfræðilegum fyrirbærum sem virtust bera með sér handahófskennda og ótrúlega eiginleika. Öll þessi fyrirbæri voru samsett úr einhvers konar falli eða mengi sem voru svo endurtekin með reikniriti eða runu.

Aðrar brotamyndir

Myndirnar voru búnar til í XaoS, frjálsu brotamyndagerðarforriti.