Breiðbogafall

Breiðbogaföll eru keilusnið og því hliðstæð hornaföllum. Helstu breiðbogaföllinn kallast breiðbogasínus (lat. sinus hyperbolicus, sinh) og breiðbogakósínus (lat. cosinus hyperbolicus, cosh). Úr þeim eru svo mynduð önnur breiðbogaföll og andhverfur líkt og úr hornaföllum. Talnatvenndinn (cosh(t), sinh(t)) lýsir hægri hluta breiðboga x²-y² = 1 eins og (cos(t), sin(t)) lýsir hring. Breiðbogaföll eru mikilvæg þar sem þau birtast í lausnum margra línulegra deildajafna, svo sem lýsingum á keðjuferli og ýmsu öðru.

Almenn skilgreining breiðbogafalla

sinh, cosh og tanh

csch, sech og coth

Skilgreiningar breiðbogafalla eru eftirfarandi, þar sem i er þvertalan:

Breiðbogasínus (einnig hýperbólískur sínus):

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix.\!$

Breiðbogakósínus (einnig hýperbólískur kósínus):

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix.\!$

Breiðbogatangens (einnig hýperbólískur tangens):

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix.\!$

Breiðbogakótangens (einnig hýperbólískur kótangens):

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix.\!$

Breiðbogasniðill eða breiðbogasekans (einnig hýperbólískur sniðill eða hýperbólískur sekans):

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec ix.\!$

Breiðbogakósniðill (einnig hýperbólískur kósniðill):

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix.\!$

Tengt efni

• Keðjufall
• Vísisfall

Tenglar

• Grein um breiðbogaföll á vefsíðu MathWorld