Tvíundakerfi

Tvíundakerfi eða tvítölukerfi er talnakerfi með grunntöluna tvo. Tvíundartala er staðsetningartáknkerfi, sem notar tvö tákn, 0 og 1. Tvíund á við ákveðið tónbil.

Tölur í tvíundakerfinu er hægt að setja fram sem röð handahófskenndra bita (0 eða 1). Sem dæmi er talan 667 skrifuð 1010011011 í tvíundakerfinu.

Tölur í tvíundakerfinu eru vanalega lesnar staf eftir staf til að greina þær frá tölum í tugakerfinu. Þannig væri talan 100 í tvíundakerfinu (jafngildir 4 í tugakerfinu) borin fram einn núll núll en ekki eitt hundrað.

Talning í tvíundakerfinu

Tvíundakerfið	Tugakerfið
0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	10

Talning í tvíundakerfinu er svipuð og talning í öðrum talnakerfum. Við byrjum með einum tölustaf, talning heldur svo áfram í gegn um hvern staf, í hækkandi röð. Tugakerfið notar tölustafina 0 til 9 en tvíundakerfið notar aðeins 0 og 1.

Þegar tölustafur fyrir fyrsta táknið hafa náð hæsta gildi er næsti stafur til vinstri hækkaður og talning hefst aftur á 0. Í tugakerfinu er talning svona:

000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (tölustafurinn lengst til hægri byrjar aftur á 0 og næsti stafur til vinstri er hækkaður)

010, 011, 012, ...

...

090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (tölustafirnir tveir lengst til hægri byrja aftur á 0 og næsti stafur til vinstri er hækkaður)

100, 101, 102, ...

Þegar tölustafur er 9 og er hækkaður fer sá tölustafur aftur niður í 0 og næsti tölustafur til vinstri er hækkaður um 1. Í tvíundakerfinu er talning eins nema aðeins eru notaðir tveir tölustafir, 0 og 1. Þegar tölustafur er 1 og er hækkaður fer sá tölustafur aftur niður í 0 og næsti tölustafur til vinstri er hækkaður um 1:

000, 001, (tölustafurinn lengst til hægri byrjar aftur á 0 og næsti tölustafur til vinstri er hækkaður)

010, 011, (tölustafirnir tveir lengst til hægri byrja aftur á 0 og næsti stafur til vinstri er hækkaður)

100, 101, ...

Samlagning

Einfaldasta reikningsaðgerðin í tvíundakerfinu er samlagning. Samlagning tveggja einsstafa talna er einföld:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 0

1 + 1 = 10

Samlagning 1 og 1 gefur gildið 10 (borið fram "einn-núll") sem jafngildir 2 í tugakerfinu. Þetta er svipað og gerist í tugakerfinu þegar tvær einsstafa tölur eru lagðar saman og útkoman er hærri eða jöfn 10, þá er tölustafurinn til vinstri hækkaður:

5 + 5 = 10

7 + 9 = 16

Þegar útkoma samlagningar er hærri en gildið á grunntölunni flytjum við 1 til vinstri, sem bætist við tölustafinn sem var þar fyrir. Þetta er eins í tvíundakerfinu:

  1 1 1 1 1  (tölur fluttar til vinstri)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
-------------
= 1 0 0 1 0 0

Í þessu dæmi eru tvær tölur lagðar saman: 01101₂ (13 í tugakerfinu) og 10111₂ (23 í tugakerfinu). Efsta röðin sýnir tölur sem eru fluttar til vinstri. Byrjum á dálkinum lengst til hægri, 1 + 1 = 10. 1 er fluttur til vinstri og 0 er skrifað í dálkinn lengst til hægri í neðstu röðina. Í öðrum dálki frá hægri eru lagðar saman tölurnar 1 + 0 + 1 = 10 aftur, 1 er fluttur til vinstri og 0 skrifað í neðstu röðina. Þriðji dálkur frá hægri: 1 + 1 + 1 = 11. Núna er 1 fluttur til vinstri og 1 skrifað í neðstu röðina. Þessu er svo haldið áfram og út kemur 100100₂ (36 í tugakerfinu).

Breytingar milli talnakerfa

Til að breyta heiltölu úr tugakerfinu yfir í tvíundakerfið er tölunni deilt með tveim og afgangurinn af því er þá aftasta talan í tvíundatölunni. Útkomunni (heiltala) er svo aftur deilt með tveim og afgangurinn er þá næst aftasta talan í tvíundatölunni. Þetta er svo endurtekið þangað til útkoma frekari deilingar verður núll.

Sem dæmi: 118 í tugakerfinu, er í tvíundakerfinu:

Aðgerð	Afgangur
118 ÷ 2 = 59	0
59 ÷ 2 = 29	1
29 ÷ 2 = 14	1
14 ÷ 2 = 7	0
7 ÷ 2 = 3	1
3 ÷ 2 = 1	1
1 ÷ 2 = 0	1

Tvíundatalan er svo fengin með því að lesa rununa af afgöngunum frá bottni til topps og gefur þá $1110110_{2}$ .

Til að breyta tvíundatölu yfir í tölu í tugakerfinu er notuð öfug aðferð. Byrjað frá vinstri, útkoman er tvöfölduð og næsta tala er lögð við þangað til fleirri tölur eru ekki til staðar. Sem dæmi að breyta 110010101101₂ yfir í tugakerfið:

Útkoma	Afgangs tölustafir
0	110010101101
0 × 2 + 1 = 1	10010101101
1 × 2 + 1 = 3	0010101101
3 × 2 + 0 = 6	010101101
6 × 2 + 0 = 12	10101101
12 × 2 + 1 = 25	0101101
25 × 2 + 0 = 50	101101
50 × 2 + 1 = 101	01101
101 × 2 + 0 = 202	1101
202 × 2 + 1 = 405	101
405 × 2 + 1 = 811	01
811 × 2 + 0 = 1622	1
1622 × 2 + 1 = 3245

Niðurstaðan er 3245₁₀.

   Tvíundakerfið:       1           1           0            0           1           0           1           0          1           1            0          1
  
  Tugakerfið:      [(2^11)*1] + [(2^10)*1] + [(2^9)*0] + [(2^8)*0] + [(2^7)*1] + [(2^6)*0] + [(2^5)*1] + [(2^4)*0] + [(2^3)*1] + [(2^2)*1] + [(2^1)*0] + [(2^0)*1] = 3245

Sjá einnig

Heimild

Fyrirmynd greinarinnar var „Binary numeral system“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 26. mars 2008.

Þessi grein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.