Stærðfræðileg rökfræði
Stærðfræðileg rökfræði er grein innan stærðfræðinnar annars vegar, og undirgrein af rökfræði hins vegar, sem snýr að tvennu:
- Að meta sannleiksgildi eða hrekjanleika stærðfræðilegra fullyrðinga út frá formi þeirra og uppbyggingu. Sjá sönnunartækni.
- Formleg rökfræði sett fram með táknmáli rökfræðinnar. Þetta er einnig kallað táknleg rökfræði, en hún var upprunalega þróuð út frá táknmáli stærðfræðinnar.
Saga
breytaStærðfræðileg rökfræði á rætur sínar að rekja til nokkurra stærðfræðinga og heimspekinga sem töldu þörf á aðferð til þess að lýsa rökyrðingum á stærðfræðilegan máta og þörf á heilsteyptu kerfi til þess að sýna fram á sannleiksgildi stærðfræðilegra fullyrðinga. Fremstan í flokki má nefna Gottlob Frege sem er gjarnan nefndur faðir nútímarökfræði.
Bertrand Russell og Alfred North Whitehead skrifuðu bókina Principia Mathematica í þremur bindum á árunum 1910—1913. Í því riti leituðust þeir eftir því að skilgreina þekkta stærðfræði út frá forsendum stærðfræðilegrar rökfræði.
Rökyrðingar
breytaRökyrðingar eru kjarninn í rökfræði. Hægt er að rita rökyrðingar með ýmsum hætti, svo sem:
- Himinninn er blár
- 2+2 = 4
- Það er kalt úti
- Jón er með hatt
Dæmi um setningar sem eru ekki yrðingar eru:
- Er himinninn blár?
- Fáðu þér sæti
- 2+2
Í stærðfræðilegri rökfræði eru setningar gjarnan kenndar við breytistærð, til dæmis bókstafi.
Röktákn
breytaTáknræn rökfræði byggist á táknum í stað orða þar sem hægt er. Þetta er gert til þess að draga úr allri tvíræðni. Gerum ráð fyrir að P og Q séu rökyrðingar. Gerum ráð fyrir að R(x) sé umsagnarökfræðileg rökyrðing. Gerum þá ráð fyrir því að x sé breyta.
| Tákn | Merking | Dæmi um notkun |
|---|---|---|
| og | (P og Q) | |
| eða | (P eða Q) | |
| ekki | (ekki P) | |
| afleiðing | (ef P þá Q) | |
| þá og því aðeins að | (ef P þá Q, og öfugt) | |
| tilvist | (til er x þannig að R(x) gildi) | |
| algildi | (um öll x gildir R(x)) |
Einnig eru svigar notaðir til aðgreiningar þegar að einhver tvíræðni er til staðar.
