Dh17n09gl

Þetta er ég!

Stærðfræði

Hér koma nokkrar stærðfræðireglur.

Öll keilusnið í hnitakerfi má lýsa með jöfnu á forminu:

$Ax^{2}+Bxy+Cx+Dy^{2}+Ey+F=0\,$

Hornafræðireglur

Hérna kemur fram hvernig sínus, kósínus og fleiri hornaföll eru lotubundin:

$\sin(v+h2\pi )=\sin(v),h\in \mathbb {Z} \,$

$\cos(v+h2\pi )=\cos(v),h\in \mathbb {Z} \,$

$\tan(v+h\pi )=\tan(v),h\in \mathbb {Z} \,$

$\cot(v+h\pi )=\cot(v),h\in \mathbb {Z} \,$

Hérna koma summuformúlunar:

$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y\,$

$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y\,$

Formúlur um tvöföldun horns:

$\sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x\,$

$\cos \left(2x\right)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\,$

Formúlur um helmingun horns:

$\cos({\frac {v}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(v)}{2}}}\,$

$\sin({\frac {v}{2}})=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(v)}{2}}}\,$

Liðunarformúlur:

$\sin(u)\cos(v)={\frac {1}{2}}(\sin(u+v)+\sin(u-v))\,$

$\cos(u)\cos(v)={\frac {1}{2}}(\cos(u+v)+\cos(u-v))\,$

$\sin(u)\sin(v)={\frac {1}{2}}(\cos(u+v)-\cos(u-v))\,$

Þáttunarformúlur:

$\sin(s)+\sin(t)=2\sin({\frac {s+t}{2}})\cos({\frac {s-t}{2}})\,$

$\sin(s)-\sin(t)=2\cos({\frac {s+t}{2}})\sin({\frac {s-t}{2}})\,$

$\cos(s)+\cos(t)=2\cos({\frac {s+t}{2}})\cos({\frac {s-t}{2}})\,$

$\cos(s)-\cos(t)=-2\sin({\frac {s+t}{2}})\sin({\frac {s-t}{2}})\,$

Annað:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,$

$\tan ^{2}x=\sec ^{2}x-1\,$

Sönnun 1.

$\sin({\frac {\pi }{2}}-x)=\cos x\,$

1. Allar hornamælingar eru mældar í radíönum, ekki gráðum.

2. Við höfum rétthyrndan þríhyrning.

• Við gefum breytunni $c\,$ langhlið rétthyrnda þríhyrningsins.
• Við gefum breytunni $a\,$ aðlæga skammhlið rétthyrnda þríhyrningsins.
• Við gefum breytunni $b\,$ mótlæga skammhlið rétthyrnda þríhyrningsins.
• Hornið milli $a\,$ og $b\,$ köllum við $\theta \,$, það er $b/a\,$.
• Hornið milli $b\,$ og $a\,$ köllum við $\phi \,$, það er $a/b\,$.

3. Út frá þessu sést eftirfarandi:

${\frac {\pi }{2}}-\theta =\phi \,$, þar sem $\pi /2\,$ er helmingur hrings eða summa allra hornanna í þríhyrningi.

3. Með einfaldri aðleiðslu fáum við eftirfarandi:

$r\cos \theta =a,\,$

$r\sin \theta =b.\,$

$r\cos \phi =b,\,$

$r\sin \phi =a.\,$

4. Og að lokum fáum við þetta:

$r\cos \theta =r\sin \phi ,\,$

$r\sin \theta =r\cos \phi .\,$

5. Ef við deilum báðum þáttum með $r\,$ þá fáum við:

$\cos \theta =\sin \phi ,\,$

$\sin \theta =\cos \phi .\,$

6. Í upphafi var gefið:

${\frac {\pi }{2}}-\theta =\phi \,$

7. Þannig að:

$\cos \theta =\sin({\frac {\pi }{2}}-\theta ),\,$

$\sin \theta =\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta ).\,$

Sönnun 2.

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\,$