„Staðall (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga

endurorðaði innganginn svo hann yrði aðeins aðgengilegri óþjálfuðum ásamt fleiru
(endurorðaði innganginn svo hann yrði aðeins aðgengilegri óþjálfuðum ásamt fleiru)
'''Staðall''' (einnig nefndur '''norm''') í [[stærðfræði]] á viðer tiltekið [[fall (stærðfræði)|fall]], táknað með ||•||,einu semeða verkartveim álóðréttum stökstrikum sitthvoru megin við stak '''v''' í [[vigurrúm]]si ([[Vigur''V'', (stærðfræði)|vigra]])|'''v'''|| eða |'''v'''|, og gefur [[já- eða neikvæð tala|jákvæða tölu]] fyrir hvern vigur, nema [[núllvigurinn]], en staðall hans er [[núll]]. Staðall er stundum kallaður lengd eða stærð staksins, þannig er staðall hliðstæða vigurrúms við [[firð]] í [[firðrúm]]i.
 
==Algengir staðlar vigurrúma==
 
*''[[Evklíð]]ski staðllinn''
:<math>\|\mathbf{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
er algengasti staðallinni í '''R'''<sup>''n''</sup>. gefur stærð vigurs skv. [[Pýþagórasarreglan|reglu Pýþagórasar]].
 
*''1-staðllinn''
:<math>\|\mathbf{x}\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.</math>
 
*''p-staðallinn''
:<math>\|\mathbf{x}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}</math>
þar sem ''p''≥ 1 . (''p'' = 1 og ''p'' = 2 gefa staðlana hér að ofan.)
 
*''Óendanlegi staðallinn''
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).</math>
 
==Línlegar varpanir==
Fyrir sérhverja [[gagntækt fall|gagntæka]], [[línuleg vörpun|línulega vörpumvörpun]] ''A'' má reikna staðal staks '''x''' þannig:
:<math>\|AxA\mathbf{x}\|.</math>
 
==Eiginleikar staðla==
Tveir staðlar ||•||<sub>α</sub> og ||•||<sub>β</sub> í vigurrúmi ''V'' eru sagðir ''jafngildir'' ef til eru [[já- eða neikvæð tala|jákvæðar]] [[rauntala|rauntölur]] ''C'' og ''D'' þ.a.
:<math>C\|\mathbf{x}\|_\alpha\leq\|\mathbf{x}\|_\beta\leq D\|\mathbf{x}\|_\alpha</math>
fyrir öll ''x'' í ''V''.
 
Í endanlegu vigurrúmi eru allir staðlar jafngildir, t.d. eru <math>l_1</math>, <math>l_2</math> og <math>l_\infty</math> staðlarnir jafngildir í <math>\mathbb{R}^n</math>:
:<math>\|\mathbf{x}\|_2\le\|\mathbf{x}\|_1\le\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_2</math>
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty\le\|\mathbf{x}\|_2\le\sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty</math>
:<math>\|\mathbf{x}\|_\infty\le\|\mathbf{x}\|_1\le n\|\mathbf{x}\|_\infty</math>
 
== Tengt efni ==
1.193

breytingar