Cauchyruna

Cauchyruna er runa, nefnd eftir Augustin Louis Cauchy, þar sem fjarlægð tveggja samliggjandi staka minnkar eftir því farið er lengra frá fyrsta stakinu.

Ferill Cauchyrunu $(x_{n}),$ sýndur með blárri línu, sem $n$ móti $x_{n}.$ Ef rýmið er endanlegt þá lokast ferillinn í endapunkti (markgildi).

Ferill sem er ekki Cauchyruna. Ystu mörk ferilsins nálgast ekki.

Þetta má setja fram sem $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$, í firðrúmi sem hefur þann eiginleika að fyrir sérhverja jákvæða rauntölu ε > 0 er til náttúrleg tala N, þ.a. fyrir alla vísa m og n sem eru stærri en N gildi:

$d(x_{m},x_{n})<\varepsilon .$

þar sem $d(x_{m},x_{n})$ táknar fjarlægðina milli $x_{m}$ og $x_{n}$.

Í fullkomnu firðrúmi hefur sérhver Cauchyruna markgildi í firðrúminu. Cauchyrunur gegna mikilvægu hlutverki í grannfræði og fallafræði.