Opna aðalvalmynd

Pascal-þríhyrningur[1] eða þríhyrningur Pascals[1] er í stærðfræði þríhyrningur af tölum sem raðað er upp eftir kerfi sem Blaise Pascal lýsti, sem nú er þekkt sem einkenni Pascals(en):

.

Þessi eiginleiki gerir það að verkum að hægt er að raða niðurstöðunum upp á eftirfarandi hátt:

Pascal triangle.png

Eiginleikar Pascal þríhyrningsinsBreyta

Ellefu-veldiðBreyta

Sjá má mjög fljótlega að fyrstu raðir Pascal-þríhyrningsins stafa út n-ta veldi af 11:

 
 
 
 
 

Reglan fellur þó ekki um sig á efri stigum, heldur verður hún bara ekki jafn ljós -  , augljóslega, heldur  . Þ.e., þar sem að tugir koma fyrir í gildum þríhyrningsins legst tugurinn við næsta sæti fyrir ofan, og einingin verður eftir.

Einkenni VandermondesBreyta

Lát  . Þá gildir:

 .

Þessi regla er kennd við Alexandre-Théophile Vandermonde, sem uppgötvaði regluna á átjándu öld.

TvíliðureglanBreyta

Tvíliðureglan notast við stuðla úr Pascal-þríhyrningnum. Til dæmis er  , en stuðlarnir (í svigum) passa við 5. línu Pascal þríhyrningsins (fyrsta línan samsvarar  ).

Fibbonacci runanBreyta

Fibonacciruna kemur fyrir í skálínum Pascal-þríhyrningsins:

Ef summaðar eru upp gráleitu tölurnar er summan stak í Fibbonacci rununni. Sama gildir um innrömmuðu tölurnar, og hvaða skálínu sem er.

Sönnun á einkenni PascalsBreyta

Ímyndum okkur að til sé mengi   sem hefur   stak. Lát   vera stak í   og lát  . Sjáum að til eru   hlutmengi í   sem innihalda   stök (Sjá: Samantektir). Hinsvegar inniheldur hlutmengi í   með   stökum ýmist  , ásamt   öðrum stökum úr  , eða það inniheldur   stök úr   en ekki  . Þar sem að það eru   hlutmengi af   staki úr  , þá eru til   hlutmengi með   stökum úr   sem innihalda  . Auk þess eru   hlutmengi af   með   stökum sem innhalda ekki  , þar sem að það eru   hlutmengi af   með   stökum. Þar af leiðir:

 .
  (Fléttufræðileg sönnun).

Tengt efniBreyta

HeimildirBreyta

  1. 1,0 1,1 [1]