LU-þáttun

LU-þáttun er aðferð í stærðfræði til þess að brjóta fylki niður í tvö fylki, annarsvegar fylki á efra stallaformi, sem kallað er U, og hinsvegar andhverfanlegt fylki sem kallað er L.

Ef að A er fylki og markmiðið er að LU-þátta A, þá eru notaðar línuaðgerðir samkvæmt reikniriti Gauss til þess að koma fylkinu A yfir á efra stallað form, sem er fylkið U, en hver línuaðgerð er skráð í fylki E_i, þar sem að i er númer línuaðgerðarinnar. Eingöngu má leggja margfeldi lína saman, en víxlun raða og margföldun raða með tölu er ekki leyfð.

Þegar fylkin $E_{1},E_{2},...E_{n}$ eru fundin skal margfalda andhverfur þeirra saman, en þar sem að E eru frumfylki eru þau andhverfanleg og margfeldi þeirra er jafnframt andhverfanlegt.

$L=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\cdots E_{n}^{-1}$

Hagnýtingar LU þáttunar

Þegar að leysa á línulegt jöfnuhneppi $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ fyrir marga mismunandi vigra b er hefðbundin Gauß-Jordan eyðing mjög tímafrek. Þá er fylkið A LU-þáttað og $A=LU$. Vigur er skilgreindur $\mathbf {y} =U\mathbf {x}$, og jöfnuhneppið $L\mathbf {y} =\mathbf {b}$ er leyst. Þar sem að L er andhverfanlegt ferningsfylki, og jafnframt neðra þríhyrningsfylki (sökum þess að allar línuaðgerðirnar eru skráðar á neðri þríhyrningi) eru allar margföldunaraðgerðir einfaldaðar til muna.

Þá er jöfnuhneppið $U\mathbf {y} =\mathbf {b}$ er nú leyst fyrir x, þar sem að y er nú lausn á $L\mathbf {y} =\mathbf {b}$.

Þessi aðferð er mikið notuð í tölvum, þar sem að hún krefst færri reikniaðgerða en hefðbundin lausn ef að leysa á mörg jöfnuhneppi.

Ýtarefni

• Fylki
• Vigur
• Línuleg jöfnuhneppi
• Andhverfanleg fylki