Útgáfa síðunnar 28. ágúst 2007 kl. 13:53 breyta Thvj (spjall \| framlög) 10.358 breytingar bætti við skilgr. um grannrúm ← Eldri breyting		Útgáfa síðunnar 28. ágúst 2007 kl. 14:29 breyta taka aftur þessa breytingu Thvj (spjall \| framlög) 10.358 breytingar bætti við samfelldni í friðrúmi o.fl. Nýrri breyting →
Lína 1: '''Samfelldni''' er einn mikilvægasta eiginleiki [[fall (stærðfræði)\|falla]] í [[stærðfræðigreining\|örsmæðarreikningi]] og [[grannfræði]], en hana er ekki auðvelt að skilgreina. Lýsa má samfelldni falls (losaralega) þannig að ~~fall~~fallið sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum, þ.e. fall ''f'' er samfellt í punkti ''y'' ef það er skilgreint í ''y'' og [[tölugildi]]ð \|''f''(''y'') - ''f''(''x'')\| nálgist [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''. Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''. ===Samfelldni íraungilds ~~grannrúmi=~~falls==▼ M.ö.o. er fall ''f'' sagt samfellt í punkti ''y'' ef fallið er skilgrint í ''y'' og [[tölugildi]]ð \|''f''(''y'') - ''f''(''x'')\| nálgist [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''. Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''. Raungilt fall <math> f: X \rightarrow Y </math>, sem skilgreint er á [[hlutmengi]] [[rauntala\|rauntalnanna]], er sagt samfellt ef það hefur [[markgildi]] fyrir einhvern punkt ''y'' í [[iður\|iðri]] [[formengi]]sins ''X'' og að markgildið <math>\lim_{x\to y}f(x)</math> sé til og jafnt fallgildinu í ''y'', þ.e. :<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math>.▼ ▲===Samfelldni í grannrúmi=== Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>.▼ Ef ''X'' og ''Y'' eru [[grannrúm]], er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu.▼ ~~Fall ''f'' er sagt '''samfellt''' í [[punktur\|punkti]] ''y'' ef til er [[götuð grennd]] ''I'' við ''y'' þ.a. um öll ''x'' í ''I'' gildi:~~ ==Samfelldni í grannrúmi== ▲:<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math> ▲Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>. ▲Ef ''X'' og ''Y'' eru [[grannrúm]], er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu. ==Samfelldni í firðrúmi== Ef<math> (X,d_x), (Y,d_y) </math> eru [[firðrúm]] er fallið ''f'' <math> f: X \rightarrow Y </math> sagt samfellt í ''x'' ef að fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þ.a. <math> d_x(x,y) < \delta \Rightarrow d_y(f(x), f(y)) < \epsilon </math>.

„Samfelldni“: Munur á milli breytinga