„Heildun“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
Lína 38:
Ef talan <math>r</math> er til, þá kallast hún Riemann heildi <math>f</math> yfir <math>[a,b]</math> og er táknuð sem <math>\int_a^b f(x)dx</math>.
=== Darboux heildi ===
Skilgreiningin á Darboux heildi er jafngild skilgreiningunni á Riemann heildi og sambærileg skilgreining er notuð í kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kennd í HÍ<ref>{{Cite web|url=https://edbook.hi.is/stae104g/kafli06.html#undir-og-yfirsummur|title=6. Heildun — Stærðfræðigreining I (STÆ104G) 2018|website=edbook.hi.is|access-date=2020-03-22}}</ref>.
==== Uppsetning ====
Látum <math>f</math> vera takmarkað raungilt fall á <math>[a,b]</math>, þ.e.a.s. það er til <math>M \geq 0</math> þ.a. <math>|f(x)| \leq M</math> fyrir öll <math>x \in [a,b]</math>.
Látum <math>P = \{a=t_0 < t_1 < \dots < t_n = b\}</math> vera skipting á <math>[a,b]</math>.
==== Neðri og efri Darboux summur ====
Skilgreinum neðri Darboux summu <math>f</math> m.t.t. <math>P</math> sem <math>L(f, P) := \sum_{i=1}^n (t_i - t_{i-1})\inf_{x\in [t_{i-1}, t_i]}f(x)</math>.
Skilgreinum efri Darboux summu <math>f</math> m.t.t. <math>P</math> sem <math>U(f, P) := \sum_{i=1}^n (t_i - t_{i-1})\sup_{x\in [t_{i-1}, t_i]}f(x)</math>.
==== Neðri og efri Darboux heildi ====
Skilgreinum neðra Darboux heildi <math>f</math> sem <math>L(f) := \sup \{L(f, P): P \text{ er skipting af }[a,b]\}</math>.
Skilgreinum efra Darboux heildi <math>f</math> sem <math>U(f) := \inf \{U(f, P): P \text{ er skipting af }[a,b]\}</math>.
==== Skilgreiningin ====
<math>f</math> er Darboux heildanlegt á bili <math>[a,b]</math> ef neðri og efri Darboux heildi <math>f</math> eru til og <math>L(f)=U(f)</math>. Ef <math>f</math> er Darboux heildanlegt á bili <math>[a,b]</math>, þá kallast talan <math>L(f)=U(f)</math> Darboux heildi <math>f</math> yfir <math>[a,b]</math> og er táknuð sem <math>\int_a^b f(x)dx</math>.
== Heildunarreglur ==
| |||