„Heildun“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
Smjorfluga (spjall | framlög) m Ég breytti fallbeygingu á orðinu "enska" yfir í "ensku". |
Skilgreining á Riemann heildi |
||
Lína 13:
[[Andhverfa]] heildunar nefnist [[deildun]].
== Skilgreiningar á ákveðin heildi ==
Það eru til margar skilgreiningar á ákveðnum heildum. Hins vegar eru ekki allar skilgreiningarnar jafngildar.
Algengustu skilgreiningarnar eru Riemann heildi og Lebesgue heildi.
=== Riemann heildi ===
==== Hjálparskilgreining [Möskvastærð á skiptingu] ====
Látum <math>P = \{a=t_0 < t_1 < \dots < t_n = b\}</math> vera skipting á <math>[a,b]</math>.
Möskvastærð <math>P</math> er skilgreind sem <math>\text{mesh}(P) := \max \{t_k - t_{k-1}: k=1,\dots,n\} </math>.
==== Uppsetning ====
Látum <math>f</math> vera takmarkað raungilt fall á <math>[a,b]</math>, þ.e.a.s. það er til <math>M \in \mathbb{R}</math> þ.a. <math>|f(x)| \leq M</math> fyrir öll <math>x \in [a,b]</math>.
Látum <math>P = \{a=t_0 < t_1 < \dots < t_n = b\}</math> vera skipting á <math>[a,b]</math>.
Látum <math>\Omega = \{ \sum_{k=1}^n f(x_k)(t_k - t_{k-1}) : x_k \in [t_{k-1}, t_k], k=1,\dots,n \}</math> vera mengi allra Riemann summa fyrir fall <math>f</math> og skiptingu <math>P</math>.
==== Setningin ====
Fallið <math>f</math> er Riemann-heildanlegt á <math>[a,b]</math> ef það er til <math>r \in \mathbb{R}</math> þ.a. fyrir öll <math>\epsilon > 0</math> það er til <math>\delta > 0</math> þ.a. <math>|S-r| < \epsilon</math> fyrir allar Riemann summur <math>S \in \Omega(f, P)</math> með <math>\text{mesh}(P) < \delta</math>.
Ef talan <math>r</math> er til, þá kallast hún Riemann heildi <math>f</math> yfir <math>[a,b]</math> og er táknuð sem <math>\int_a^b f(x)dx</math>.
== Heildunarreglur ==
| |||