„Afleiða (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
Byrjaði að endurskrifa, byggist lauslega á ensku wikipedia greininni |
WiP diffrunarreglur, fínpússun, meiri texti |
||
Lína 34:
Athugið að þetta markgildi er jafngilt markgildinu að ofan þ.a. skilgreiningarnar með þessu eða fyrra markgildinu eru jafngild.
== Eiginleikar afleiða ==
=== Tengsl milli samfelldni og deildanleika falla ===
Ef fall <math>f</math> er deildanlegt í punkti <math>a</math>, þá er það líka samfellt í punkti <math>a</math>.
Athugið hins vegar að það öfuga gildir ekki alltaf. Þ.e.a.s. ef fall <math>f</math> er samfellt í punkti <math>a</math>, þá er það ekki endilega deildanlegt í punkti <math>a</math>. Til dæmis má nefna algildisfallið <math>f(x)=|x|</math> er samfellt en ekki diffranlegt í punkti <math>0</math> og [[Weierstrassfall|Weierstrassfallið]] sem er samfellt en ekki deildanlegt á öllum rauntalnaásnum.
=== Hærri-stigs afleiður ===
Látum <math>f</math> vera deildanlegt fall og látum <math>f'</math> vera afleiða þess. Afleiða <math>f'</math> er rituð sem <math>f''</math> með rithætti Lagrange, ef afleiðan sjálf ef deildanleg, og kallast seinni-stigs afleiða <math>f</math>. Á sama hátt er afleiða seinni afleiðunnar rituð sem <math>f'''</math>, ef seinni afleiðan er sjálf deildanleg, og kallast þriðja-stigs afleiða <math>f</math>. Þannig kolli af kolli má skilgreina <math>n</math>-ta stigs afleiðuna af <math>f</math> sem afleiðuna af <math>(n-1)</math>-ta-stigs afleiðu <math>f</math>, ef hún er til, og hún er rituð sem <math>f^{(n)}</math>með rithætti Lagrange. Gefið að þær eru til, <math>f'', f''', f^{(4)},f^{(5)}, ..., f^{(n-1)}, f^{(n)} </math>eru kallaðar hærri-stigs afleiður.
=== Beygjuskilspunktar ===
Punktar þar sem seinni-stigs afleiða falls breytir um formerki kallasr beygjuskilspunktur. Á beygjuskilspunktinum er seinni-stigs afleiðan annað hvort 0 eða ekki til. Á beygjuskilspunkti færist fall frá því að vera kúpt yfir í að vera hvelft, eða öfugt.
== Reiknireglur ==
Hægt er að reikna afleiðu fall útfrá markgildisskilgreiningunni. Hins vegar er hægt að nýta sér styttri leiðir til að reikna afleiður með því að notfæra sér þekktar afleiður algengra falla ásamt deildunarreglum fyrir samsett föll.
=== Afleiður algengra falla ===
==== Veldaföll ====
Fallið <math>f(x) = x^r</math> þar sem <math>r</math> er rauntala hefur afleiðu <math>f'(x) = rx^{r-1}</math>.
==== Vísis- og lograföll ====
* Fallið <math>f(x) = e^x</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = e^x</math>.
* Fallið <math>f(x) = a^x</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = a^x \ln(a)</math>.
* Fallið <math>f(x) = \ln (x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = \frac{1}{x}</math> fyrir öll <math>x > 0</math>.
* Fallið <math>f(x) = \log_a (x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = \frac{1}{x\ln(a)}</math> fyrir öll <math>x > 0</math>.
==== Hornaföll ====
* Fallið <math>f(x) = \sin(x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = \cos(x)</math>.
* Fallið <math>f(x) = \cos(x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = -\sin(x)</math>.
* Fallið <math>f(x) = \tan(x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)</math>.
==== Andhverf hornaföll ====
* Fallið <math>f(x) = \arcsin(x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> fyrir öll <math>x \in (-1, 1)</math>.
* Fallið <math>f(x) = \arccos(x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> fyrir öll <math>x \in (-1, 1)</math>.
* Fallið <math>f(x) = \arctan(x)</math> hefur afleiðu <math>f'(x) = \frac{1}{1+x^2}</math>.
=== Reglur fyrir samsett föll ===
==== Fastareglan ====
Ef <math>f(x)</math> er fasti, þá er <math>f'(x) = 0</math>.
==== Summureglan ====
Látum <math>f(x) = \alpha g(x) + \beta h(x)</math> þar sem <math>\alpha</math> og <math>\beta</math> eru fastar. Þá er afleiðan <math>f'(x) = \alpha g'(x) + \beta h'(x)</math>.
==== [[Margfeldisregla|Margfeldisreglan]] ====
Látum <math>f(x) = g(x)h(x)</math>. Þá er afleiðan <math>f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)</math>.
==== [[Brotaregla|Brotareglan]] ====
Látum <math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math>. Þá er afleiðan <math>f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}</math> fyrir öll föll <math>g</math> og <math>h</math> þar sem <math>g(x) \neq 0</math>.
==== [[Keðjuregla|Keðjureglan]] ====
Látum <math>f(x) = g(h(x))</math>. Þá er afleiðan <math>f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)</math>.{{Stubbur|stærðfræði}}
[[Flokkur:Örsmæðareikningur]]
| |||