Fibonacci-runan

Fibonacci-runan er eftirfarandi talnaruna:

$0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610,\ldots .$

þar sem fyrstu tvær Fibonacci-tölurnar eru 0 og 1 og næsti liður rununnar er summa tveggja fyrri liða. Sumir sleppa fyrsta núllinu og láta fyrstu tvo liðina vera 1 í staðinn. Runan $F_{n}$ sem skilgreinir Fibonacci-rununa er skilgreind með því að vísa í sjálfa sig:

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\!\,$

með upprunalegu gildunum

$F_{0}=0\quad {\text{og}}\quad F_{1}=1.$

Eignuð stærðfræðingnum Leonardo Pisano. Runan svarar því hve mörg kanínupör eru til staðar á hverjum tíma, ef í upphafi er eitt par, sem í hverjum mánuði eignast eitt kanínupar, sem eftir mánuð eignast nýtt kanínupar og svo framvegis án þess að nokkru sinni deyi kanína. Leonardo leggur fram dæmið í bók sinni, Liber abaci („Bókin um talnagrindina“ eða „Reikningslistin“), sem kom út árið 1202.

Formleg skilgreining

Fibonacci-tölur má skilgreina formlega með endurkvæmni (ítrekun) svona: $F_{n}:=F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ef }}n=0;\\1&{\mbox{ef }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{ef }}n>1.\\\end{cases}}$

Fibonacci-tölur í náttúrunni

Fibonacci-tölur koma víða fyrir í náttúrunni. Kanínudæmið er oft nefnt í sambandi við Fibonacci-tölur. Gefum okkur að við höfum kanínupar, sem sé 1 mánuð að verða kynþroska en eftir það eignast það annað kanínupar í hverjum mánuði. Ef við byrjum með 1 par þá erum við enn þá með 1 par eftir fyrsta tímabilið. Eftir næsta tímabil eignast það annað par (sem eignast ekki afkvæmi fyrr en eftir tvö tímabil) og þá erum við komin með 3 pör. Eftir þriðja tímabilið bætist við eitt nýtt par og við höfum þá 4 pör. Eftir eitt ár í viðbót eignast þau 1 pör sem voru til fyrir tveimur mánuðum (tímabilum) hvort sitt parið og þá höfum við 5 pör. Þetta gengur þannig fyrir sig að á hverju ári eykst fjöldi kanínupara um þann fjölda sem var til staðar fyrir 2ur mánuðum. Fjöldi blaða á blómum er til dæmis oft fibonacci-tala.

Tengsl við gullinsnið

Ef mynduð er runa úr hlutföllum hverra tveggja samliggjandi Fibonacci-talna, þá hefur sú runa markgildið 1,618.. sem kallast gullinsnið. Fyrstu tölurnar í þeirri runu eru 1; 2; 1.5; 1,667; 1,600; 1,625 o.s.frv.

Tenglar

• „Hvað er Fibonacci-talnaruna?“. Vísindavefurinn.
• „Hvað er gullinsnið?“. Vísindavefurinn.