Mangoldtsfallið

Mangoldtsfallið eða fall von Mangoldts er heiltölufall, sem kemur við sögu í talnafræði.

Skilgreining

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{ef }}n=p^{k}{\mbox{ fyrir primtolu }}p{\mbox{ og heiltolu }}k\geq 1,\\0&{\mbox{annars.}}\end{cases}}$

Fall von Mangolds uppfyllir eftirfarandi:

$\log n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d),\,$

þar sem summan er yfir alla þætti d heiltölunnar n.

Tengsl við Dirichletraðir

Mangoldtsfallið er nátengt föllum, sem skilgreind eru með Dirichletröðum, t.d.

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}$

þar sem ζ er Zetufall Riemanns og Re(s) > 1.

Afleiða lograns af zetufallinu verður þá

${\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.$