„Örsmæðareikningur“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
m Smávegis lagfæring. |
Sameinað við Stærðfræðigreining. Sjá comment í spjalli. |
||
Lína 1:
<onlyinclude>
[[Mynd:Ln re.png|thumb|left|300px|Náttúrulegi [[lógaritmi]]nn af raunhluta [[tvinntölur|tvinntölu]].]]
'''Örsmæðareikningur''' er undirgrein [[stærðfræðinnar]] sem snýst um reikningar út frá örsmáum stærðum
'''Stærðfræðigreining''' er sú undirgrein stærðfræðinnar sem snýst um greiningu á þeim reikniaðferðum sem liggja til grundvallar örsmæðareikningi.
</onlyinclude>
Helstu aðgerðirnir í örsmæðareikningi eru tvær, [[heildun]] og [[deildun]], sem einnig eru kallaðar [[tegrun]] og [[diffrun]]. Einnig er [[markgildi]]shugtakið mjög mikilvægt, en til viðbótar koma [[ferilheildi]], [[stigull|stiglar]] og ýmsar aðrar aðgerðir.
== Hugmyndafræði ==
Eitt af því sem höfðaði til manna var það að geta mælt hallatölur [[margliða]] af hærri gráðum en 1 og annarra falla sem eru ekki beinar línur, svo sem [[sínus]]. Auðvelt er að finna [[hallatala línu|hallatölu línu]] sem lýst er með jöfnunni <math>y = ax + b</math>, þar sem að hallatalan er einfaldlega <math>a</math>.
Það sem að upphafsmenn stærðfræðigreiningarinnar áttuðu sig á var að til þess að mæla hallatölu þurfti að mæla hana út frá tveimur punktum, og hlutfallslegi mismunurinn á þeim tvem punktum er hallatalan. Með því að minnka muninn milli þeirra tveggja punkta óendanlega mikið var hægt mæla hallatöluna út frá að því er virðist einum punkti:
:<math>\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}</math>
Þá stefnir [[markgildi]] þessarar stæðu á hallatölu fallsins <math>f(x)</math> í punktinum <math>a</math> þegar að <math>h</math> stefnir á 0. Þessi aðgerð er oftast rituð <math>f'(x)</math> eða <math>\frac{df}{dx}</math>, og er kölluð [[diffrun]].
[[Image:Mvt2.png|thumb|right|300px|Graf sem sýnir mun á [[snertill|snertil]] (tangent) og [[sniðill|sniðil]] (secant)]]
Vegna þess að hallatalan í þessum tiltekna punkti er þá þekkt, þá er hægt að finna línu með sömu hallatölu, en hún hefur jöfnuna
:<math>y = f'(a)(x - a) + f(a)</math>
Eingöngu ein slík lína er til, en hún kallast [[snertill]] fallsins ''f'', þar sem að hún gengur ekki í gegn um ''f'' í þessum punkti, heldur rétt strýkur við hana. Allar aðrar línur með sömu hallatölu sem ganga í gegnum fallið eru kallaðir [[sniðill|sniðlar]].
::''Sjá meira um [[diffrun]]''
Eftir að diffrun hafði verið skilgreind sáu menn að það það gæti verið ábótasamt að geta tekið aðgerðina til baka. Myndi slík aðferð hafa þann eiginleika að mæla flatarmálið undir tilteknu falli. Sú aðgerð er kölluð [[heildun]] eða [[tegrun]], og er skilgreind á ýmsa vegu. Hér verður fjallað lítillega um [[Riemann heildi]]ð:
Riemann heildi er skilgreint sem summa undir- og yfirsumma falls á mælanlegu bili. Það er að segja, stikuð eru út visst mörg bil til þess að mæla fallið á, og fyrir hvert þeirra er mæld [[yfirsumma]] annarsvegar og [[undirsumma]] hinsvegar. Summurnar eru allar lagðar saman, og útkoman er flatarmálið undir fallinu:
<math>\int_a^b f(x) dx = \bar{I}(f)</math> þar sem að <math>U \le \bar{I}(f) \le Y</math>, þar sem að U er undirsumman og Y er yfirsumman.
::''Sjá meira um [[heildun]]. Sjá einnig [[Lebesgue heildi]]ð.''
== Saga ==
Örsmæðareikningur var innleiddur á sautjándu öld til þess að mæta vaxandi þörf manna fyrir útreikninga í vísindum. Einkum var um að ræða þörf fyrir að geta tengt [[hröðun]], [[hraði|hraða]] og [[vegalengd]] hlutar á hreyfingu, [[hallatala snertils|hallatölur snertla]] og breytingarhraða (rate of change), [[hágildi]] og [[lággildi]] falla (t.d. mestu og minnstu fjarlægð reikistjörnu frá sólu), [[lengd ferils]], [[flatarmál undir ferli]], [[rúmmál]]
Enn þann dag í dag er örsmæðareikningur besta stærðfræðileiðin til útreikninga af þessu tagi og varla er til sú fræðigrein sem ekki nýtur góðs af á einn eða annan hátt.
Upphafsmenn örsmæðareiknings voru samtímamennirnir [[Isaac Newton]] (1642 - 1727) í Englandi og [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]] (1646 - 1716) í Þýskalandi. Þeir voru báðir framúrskarandi stærðfræðingar sinnar tíðar og eiga báðir örugg sæti á listum yfir 10 mestu [[frægir stærðfræðingar|stærðfræðinga]] allra tíma. Þó voru þeir langt því frá að vera vinir, og voru mjög harðir keppinautar lengst af - hvor um sig taldi hinn loddara og sjálfan sig hinn eina sanna höfund örsmæðareikningsins. [[Deila Newtons og Leibniz]] teygði arma sína þvert yfir Evrópu, og stóðu vísindamenn altént með öðrum hvorum þeirra. Frægt er að [[Bernulli bræður]] lögðu fyrir Newton margar þrautir sem þeir töldu að væri ógerlegt að leysa með hans útgáfu örsmæðareikningsins. til að mynda [[brachistochrones vandamálið]], á meðan að stuðningsmenn Newtons á borð við [[John Kiell]] og [[Fatio de Fullier]]
== Sjá einnig ==
* [[Heildun]]
** [[Riemann heildi]]
** [[Lebesgue heildi]]
* [[Diffrun]]
** [[Hágildi]]
** [[Lágildi]]
** [[Snertill]]
** [[Söðulpunktur]]
* [[Lína (stærðfræði)|Lína]], [[Rúmmál]] og [[Flatarmál]]
* [[Isaac Newton]]
* [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]]
* [[Eðlisfræði]]
[[Flokkur:Örsmæðareikningur]]
[[en:Calculus]]
| |||