Munur á milli breytinga „Runa“

1.907 bætum bætt við ,  fyrir 13 árum
m
ekkert breytingarágrip
m (robot Bæti við: ur:متوالیہ (ریاضی))
m
[[Mynd:Cauchy sequence illustration2.png|thumb|200px|Cauchy runa sem er hvorki vaxandi né minnkandi né samleitin, en hún er á hinn boginn takmörkuð.]]
'''Runa''' er, í [[stærðfræði]], óendanleg [[fjölskylda (stærðfræði)|fjölskylda]] af [[stak|stökum]] ásamt [[vísir|vísismenginu]] <math>\mathbb{N}</math>. Óformlega má líta á runu sem keðju af fyrirbærum sem koma eitt á fætur öðru, og enginn endir er á. Dæmi um runur væri:
 
Runu má hugsa sér sem [[fall (stærðfræði)|fall]] með [[formengi]]ð <math>\mathbb{N}</math> og því gilda ýmis hugtök úr [[fallafræði]] um þær. Runa er gjarnan táknuð, líkt og fjölskyldur almennt, með svigum, t.d. <math>(a)</math>. Þá er það oft ritað <math>(a)_{n\in\mathbb{N}}</math>, til þess að gefa til kynna að um sé að ræða fjölskyldu þar sem að hvert stak hefur vísi úr mengi [[náttúrlegar tölur|náttúrlegra talna]]. Þá er ''n''-ta stak rununnar táknað <math>a_n</math>.
 
== Vaxandi og minnkandi runur ==
Runa er sögð '''vaxandi''' ef hún stækkar eftir því sem á líður, þ.e., að fyrir öll ''n'' gildir <math>a_{n+1} \ge a_n</math>. Sömuleiðis er runa sögð '''minnkandi''' ef að hún minnkar, þ.e., að fyrir öll ''n'' gildir <math>a_{n+1} \le a_n</math>.
 
Runur sem eru annað hvort vaxandi eða minnkandi eru kallaðar '''einhalla'''.
 
== Hlutruna ==
Hlutruna er búin til úr runu með því að eyða nokkrum gildum út úr runu. Til dæmis væri hægt að smíða runu úr þriðja hverju gildi annarrar runu:
:<math>b_n = a_{3n}</math>
 
== Samleitni ==
{{Aðalgrein|Samleitni}}
Hafi runa [[grannmynstur]] getur hún verið samleitin. Runa er sögð '''samleitin''' ef að hún hefur [[markgildi]].
 
Formlega, fyrir runu <math>(a)_n</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>, á [[firðrúm]]i <math>M</math> með [[firð]] <math>d</math>, þá fyrir <math>L \in M</math> segjum við að <math>L</math> sé markgildi rununnar og ritum:
 
::<math> L = \lim_{n \to \infty} a_n </math>
 
::<math>\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0\;, \exists N \in \mathbb{N}: n>N \rightarrow d(a_n,L)<\epsilon.\; </math>
 
Það er að segja, að fyrir öll <math>\epsilon</math> sem eru stærri en 0, þá sé til tala ''N'', þannig að ef að ''n'' > ''N'' þá sé fjarlægðin milli <math>a_n</math> og ''L'' minni en <math>\epsilon</math>.
 
== Takmarkaðar runur ==
Runa er [[takmörkuð runa|takmörkuð]] ef til er [[endanleg tala]] ''M'', þ.a. |<math>a_n</math>| < ''M'' fyrir öll ''n''. Runa, sem ekki er takmörkuð kallast ''ótakmörkuð runa''. Til dæmis getur runa haft [[markgildi]] og þá sögð vera [[samleitni|samleitin]] en ósamleitin ef hún hefur ekki markgildi. Ef að fjarlægð milli staka minnkar eftir því sem líður á rununa kallast runan [[Cauchyruna]] á [[firð]]inni sem fjarlægðin er mæld með.
 
== Röð ==
[[Röð (stærðfræði)|Röð]] er runa af summum annarar runu. Til dæmis ef (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ...) er runa, þá má skoða [[hlutsummuruna|hlutsummurununa]] (''S''<sub>1</sub>, ''S''<sub>2</sub>, ''S''<sub>3</sub>, ...), með
:<math>S_n=x_1+x_2+\dots + x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i.</math>
 
{{Stubbur|stærðfræði}}
1.802

breytingar