Munur á milli breytinga „Samfelldni“

691 bæti bætt við ,  fyrir 14 árum
bætti við skilgr. um grannrúm
m (Samfella færð á Samfelldni: samfella hefur fleiri merkingar)
(bætti við skilgr. um grannrúm)
'''Samfelldni''' er einn mikilvægasta eiginleiki [[fall (stærðfræði)|falla]] í [[stærðfræðigreining|stærðfræðigreininuörsmæðarreikningi]] og [[grannfræði]], en hana er ekki auðvelt að skilgreina. Fall ''f'' er sagt '''samfellt''' í [[punktur|punkti]] ''y'' ef til er [[götuð grennd]] ''I'' við ''y'' þ.a. um öll ''x'' í ''I'' gildi:
Lýsa má samfelldni (losaralega) þannig að fall sé samfellt ef að hvergi finnast ,,göt" á því, þ.a. að hver punktur ,,taki við" af öðrum.
 
EinnigM.ö.o. má lýsa samfelldni (losaralega) þannig aðer fall ''f'' sagt samfellt í punkti ''y'' ef [[markgildi]]fallið er skilgrint í ''y'' og [[tölugildi]]sinsð |''f''(''y'') - ''f''(''x'')| nálgist [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''. Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''.
:<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math>
 
===Samfelldni í grannrúmi===
Annars er fallið sagt '''ósamfellt'''.
Fyrir almennt [[grannrúm]] gildir að fall <math> f: X \rightarrow Y </math> er '''samfellt''' þegar fyrir sérhvert [[opið mengi]] <math> U \in Y </math> gildir að <math> f^{-1}(U) </math> er opið í ''X''. Segja má að ''f'' sé '''samfellt''' í punkti ''x'' ef um sérhverja [[grennd]] ''V'' um ''f(x)'' er til grennd ''U'' um ''x'', þ.a. <math> f(U) \subset V </math>.
Ef ''X'' og ''Y'' eru [[grannrúm]], er skilgreiningin jafngild sígildri "<math> \epsilon - \delta </math>": skilgreiningu.
 
Fall ''f'' er sagt '''samfellt''' í [[punktur|punkti]] ''y'' ef til er [[götuð grennd]] ''I'' við ''y'' þ.a. um öll ''x'' í ''I'' gildi:
 
:<math>\lim_{x \to y}{f(x)}= f(y)</math>
 
Einnig má lýsa samfelldni (losaralega) þannig að fall ''f'' sé sagt samfellt í punkti ''y'' ef [[markgildi]] [[tölugildi]]sins |''f''(''y'') - ''f''(''x'')| sé [[núll]], þegar punkturinn ''x'' "stefni á" ''y''.
 
{{stæ-stubbur}}
10.358

breytingar