Útgáfa síðunnar 7. nóvember 2006 kl. 20:11 breyta Jóna Þórunn (spjall \| framlög) 23.282 breytingar mEkkert breytingarágrip ← Eldri breyting		Útgáfa síðunnar 5. febrúar 2007 kl. 18:56 breyta taka aftur þessa breytingu 216.7.19.3 (spjall) Endurskrifað Nýrri breyting →
Lína 1: [[Mynd:Gagntæk vörpun.png\|right\|frame\|Í [[stærðfræði]] kallast [[mengi]] <math>A</math> ''teljanlegt'' (e. countable) ef hægt er að smíða [[gagntæk vörpun\|gagntæka vörpun]] frá því á hlutmengi <math>B \subseteq \mathbb{N}</math> [[náttúrulegar tölur\|náttúrulegu talnanna]]. Ef <math>B</math> inniheldur óendanlega mörg stök (t.d. ef <math>B</math> er mengi [[frumtala\|frumtalnanna]] eða sléttu talnanna) er <math>A</math> ennfremur ''teljanlega óendanlegt''. Sé mengi ekki teljanlegt er það kallað ''[[Óteljanlegt mengi\|óteljanlegt]]''. [[Mynd:Gagntæk vörpun.png\|right\|frame\|[[Mengi]]ð '''Y''' er teljanlegt þar sem hægt er að [[gagntæk vörpun\|varpa]] því á mengið '''X''' sem sniðið er eins og mengi [[náttúrulegar tölur\|náttúruleg tala]].]] ==Dæmi== '''Teljanlegt mengi''' er í [[stærðfræði]] [[mengi]] sem er annað hvort endanlegt eða teljanlega óendanlegt. Það telst endanlegt ef hægt er að [[gagntæk vörpun\|varpa]] því á mengi á sniðinu ([[1 (tala)\|1]], [[2 (tala)\|2]], [[3 (tala)\|3]], [[4 (tala)\|4]], ... n) þar sem n er [[náttúrulegar tölur\|náttúruleg tala]] og teljanlega óendanlegt ef til er gagntæk vörpun milli þess og <math>\mathbb{N}</math>, önnur mengi eru [[Óteljanlegt mengi\|óteljanleg]]. Sérhvert endanlegt mengi er teljanlegt þar sem unnt er að ganga á röðina af stökunum (röðin skiptir ekki máli) og úthluta hverju staki næstu náttúrulegu tölu, þar sem við byrjum á 1. Þessi aðgerð tekur enda því mengið er endanlegt, svo vörpunin er einfaldlega milli mengisins og fyrstu ''n'' [[náttúrulegar tölur\|náttúrulegu talnanna]] (sem er hlutmengi í <math>\mathbb{N}</math>) og er augljóslega gagntæk. Mengi sléttra talna ''S'' er teljanlega óendanlegt. Þetta fæst beint út úr skilgreiningunni, þar sem ''S'' er jú hlutmengi í <math>\mathbb{N}</math>. Hins vegar getum við sýnt að hægt sé að varpa ''S'' beint á mengi náttúrulegra talna. Smíðum vörpun <math>\phi : S \rightarrow \mathbb{N}</math> þannig að <math>\phi(2k) = k</math> fyrir sérhvert náttúrulegt k. Með öðrum orðum deilir <math>\phi</math> sléttri tölu með tveimur til að finna samsvarandi náttúrulega tölu. Þessi vörpun er [[eintæk\|eintækt fall]]: ef <math>\phi(i) = \phi(j)</math> fyrir einhver ''i,j'' í ''S'' þá er <math>i/2 = j/2</math> og því <math>i = j</math>. Hún er ennfremur [[átæk\|átækt fall]]: töluna <math>n \in \mathbb{N}</math> má rita sem <math>\phi(2n) = n</math>, svo <math>\phi</math> er gagntæk. Því er ''S'' teljanlegt. Við höfum í raun sýnt hvernig beri að sanna jafngildi skilgreiningunnar við þá sem krefst þess að gagntæka vörpunin sé yfir á allt <math>\mathbb{N}</math> (svo fremi sem mengið sé ekki endanlegt). {{Stærðfræðistubbur}}

„Teljanlegt mengi“: Munur á milli breytinga