„Tómamengi“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
Ekkert breytingarágrip |
Ekkert breytingarágrip |
||
Lína 1:
Í [[stærðfræði]], nánar tiltekið [[mengjafræði]], er '''tómamengið''' [[mengi]] sem inniheldur engin stök.
Ýmsir eiginleikar í mengjafræði eru [[augljóst (stærðfræði)|augljóslega]] sannir um tómamengið.
==Táknmál==
Tómamengið er oft táknað með "<math>\varnothing</math>" eða "<math>\emptyset</math>" sem dregið er af stafnum Ø í [[Danska og Norska stafrófið|Danska og Norska stafrófinu]], innleit af [[Bourbaki hópurinn|Bourbaki hópnum]] (nánar tiltekið af [[André Weil]]) árið 1939 [http://members.aol.com/jeff570/set.html]. Einnig oft táknað með "{}".
==Eiginleikar==
* [[Allsherjarmagnari|Fyrir öll]] mengi ''A'' er tómamengið [[hlutmengi]] í ''A'':
*: ∀''A'': ∅ ⊆ ''A''
* Fyrir öll mengi ''A'' er [[sammengi]] ''A'' og tómamengisins jafnt ''A'':
*: ∀''A'': ''A'' ∪ ∅ = ''A''
* Fyrir öll mengi ''A'' er [[sniðmengi]] ''A'' og tómamengisins tómt:
*: ∀''A'': ''A'' ∩ ∅ = ∅
* Fyrir öll mengi ''A'' er [[mengjamargfeldi]] ''A'' og tómamengisins tómt:
*: ∀''A'': ''A'' × ∅ = ∅
* Eina hlutmengið í tómamenginu er tómamengið sjálft:
*: ∀''A'': ''A'' ⊆ ∅ ⇒ ''A'' = ∅
* Fjöldi staka í tómamenginu (það er [[fjöldatala]] þess) er [[0 (tala)|núll]], þar með er tómamengið [[endanlegt mengi|endanlegt]]:
*: |∅| = 0
*Fyrir sérhvern eiginleika gildir:
** fyrir sérhvert stak í ∅ gildir eiginleikinn ([[innihaldslaus sannleikur]])
** það eru engin stök í ∅ sem eiginleikinn gildir um.
*Á hinn bóginn: ef um einhvern eiginleika gildir:
** um sérhvert stak í V gildir eiginleikinn
** það er ekkert stak í V sem eiginleikinn gildir um
:þá er V = ∅
Stærðfræðingar tala um "tómamengið" frekar en "tómt mengi". Í mengjafræði er tvö mengi jöfn ef þau innihalda sömu stök, þar af leiðandi getur einungis eitt mengi innihaldið engin stök.
Sem hlutmengi í [[Rauntölur|rauntalnalínunni]] (eða almennar, [[grannrúm]]i) er tómamengið bæði [[opið mengi|opið]] og [[lokað mengi|lokað]]. Allir jaðarpunktar þess (sem eru engir) eru í tómamenginu og það er því lokað, en um alla punkta í því (sem eru jú engir) gildir að til er [[opin grennd]] sem er innihaldin í tómamenginu og það er því opið. Einnig er tómamengið [[þjappað mengi|þjappað]] þar sem öll endanleg mengi eru þjöppuð (á rauntalnalínunni).
[[Lokun (stærðfræði)|Lokun]] tómamengisins er tómt.
==Algeng vandamál==
Tómamengið er ekki það sama og ''ekkert'', það er mengið sem ''inniheldur'' ekkert en mengið sjálft er ''eitthvað''. Þetta veldur oft misskilningi hjá þeim sem eru að kynnast tómamenginu í fyrsta skiptið. Stundum hjálpar að hugsa um mengi sem poka sem inniheldur þau stök sem eru í menginu, þá er tómamengið einfaldlega tómur poki, sem er svo sannarlega eitthvað.
==Heimildir==
*[http://www.hi.is/~mmh/leitun.html Orðasafn Íslenska Stærðfræðafélagsins]
{{Enwikiheimild|Empty set|9. Nóv|2006}}
{{Stærðfræðistubbur}}
| |||