„Sigma-algebra“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
m r2.7.2) (Vélmenni: Bæti við: pms:Tribù d'ansem |
m Lagfæring og viðbætur. |
||
Lína 1:
Í [[stærðfræði]] er '''σ-algebra''' (borið fram ''[[Gríska stafrófið|sigma]] algebra'')
== Hugmyndin ==
Í tilraun til þess að skilgreina mælikvarða fyrir mengi, það er að segja úthluta hverju hlutmengi fasta tölu sem gefur til kynna stærð þess (lengd eða rúmmál til dæmis), komust menn að því að sumum mengjum var ekki hægt gefa stærð öðruvísi en að tapa einhverjum af þeim eiginleikum sem við viljum að mælikvarði hafi, svo sem að summa stærða tveggja sundurlægra mengja sé jöfn stærð sammengis þeirra, að eiginlegt hlutmengi mengis sé minna að stærð en mengið allt, við viljum að summa partanna sé jöfn heildinni o.s.frv. Dæmigert mengi hins vegar, eins og bilið [0,1] sem við hugsum okkur að hafi lengdina einn, inniheldur óendanlega marga punkta sem hafa lengdina núll, summa þeirra <math>0 \cdot \infty</math> er ekki skilgreind stærð hins vegar. Það eru líka [[fjöldatala|jafnmargir]] punktar í bilunum [0,1] og [0,2] (höfum gagntæka vörpun <math>x \mapsto 2 x</math> milli mengjana), en við segjum samt að bilið [0,2] sé tvöfalt lengra en [0,1]. Vandamálið er þó ekki bundið við óendanleikan því jafnvel þótt við skiptum menginu upp í endanlega marga parta getum við lent í vandræðum samanber [[Banach–Tarski þversögnin|Banach–Tarski þversögnina]]. Ef mál er skilgreint sem vörpun frá mengi yfir á útvíkkaða jákvæða rauntalnaásin er vel þekkt að ekkert mál á veldamengi rauntalna uppfyllir öll þau skilyrði sem við viljum að mælikvarði hafi (sjá [[Vitali mengi]]). Þetta leiddi til þess að menn takmörkuðu sig við ákveðna tegund mengja sem kölluð eru mælanleg mengi, mengi sem varðveita þá eiginleika sem við viljum að mál hafi. Hlutmengi σ-algebru varðveita þessa eiginleika.
== Formleg skilgreining ==
# [[Tómamengið]] er [[stak]] í '''Σ'''.
# Ef '''E''' er stak í '''Σ''', þá er [[fyllimengi]] þess einnig í '''Σ'''.
# Ef <math>E_1, E_2, E_3,...</math> er [[teljanleiki|teljanleg]] mengja[[runa]] í '''Σ''' þá er
▲# Ef <math>E_1, E_2, E_3,...</math> er [[teljanleiki|teljanleg]] [[runa]] í '''Σ''' þá er (teljanlega) [[sammengi]] þeirra einnig í '''Σ'''
Það leiðir af ''1'' og ''2'' að X er stak í '''Σ'''
Eins og kom fram í inngangi eru σ-algebrur notaðar til að skilgreina málrúm, þrenndin (''X'','''Σ''',μ) er málrúm, þar sem ''X'' er gefið mengi, '''Σ''' sigma algebra þess og μ er mál á '''Σ'''. Stök '''Σ''' eru sögð vera mælanleg. Þetta er ekki eina skilgreiningin sem hefur verið notuð í málfræði, upprunalega notaðist [[Andrey Kolmogorov|Kolmogorov]] við algebrur og [[Paul Halmos|Halmos]] notaði σ-bauga.
σ-algebrur eru stundum táknuð með stórum stöfum af [[Fraktur (leturgerð)|Fraktur]] leturgerð. Því gæti <math>\mathfrak{F}</math> verið notað til að tákna (X,Σ). Stundum er notast við „skrifaða“ stafi í stað Σ, til dæmis væri <math>(X,\mathcal{A})\,\;</math> notað í stað <math>(X,\Sigma)</math>. Þetta getur verið gagnlegt til þess að forðast misskilning þar sem að Σ er gjarnan notað sem [[summa|summuvirki]].
| |||