„Einn“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
m Tók aftur breytingar 85.220.60.6 (spjall), breytt til síðustu útgáfu 85.197.214.222 |
mEkkert breytingarágrip |
||
Lína 15:
=== Röksemdafærsla ===
==== Algebra ====
===== Með brotum =====
Ein ástæða fyrir því að óendanlegir aukastafnir eru nauðsynleg viðbót við endanlega aukastafi er til þess að túlka [[brot]]. Með því að nota deilingu með mörgum skrefum<!--ÉG KANN EKKI BETRA ORÐ YFIR "LONG DIVISION"-->, þá verður einföld deiling [[heiltölur|heiltalna]] eins og <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> að aukastöfum sem endurtaka sig 0.333…, en hérna endurtaka aukastafnir sig að endalausu. Þessir aukastafir veita hæglega sönnun fyrir því að 0.999… = 1. Það að margfalda 3 með 0.333… lætur alla þristana verða að níum. Þar af leiðir er 0.333… sinnum 3 það sama og 0.999…. 3 × <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub> er 1, þannig <math>0.999\dots = 1</math>.<ref name="CME">cf. with the binary version of the same argument in [[Silvanus P. Thompson]], ''Calculus made easy'', St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.</ref>
Annað form þessarar sönnunnar margfaldar <sup>1</sup>/<sub>9</sub> = 0.111… með 9.
:{| style="wikitable"
|
<math>
\begin{align}
0.333\dots &= \frac{1}{3} \\
3 \times 0.333\dots &= 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\
0.999\dots &= 1
\end{align}
</math>
|width="50px"|
||
<math>
\begin{align}
0.111\dots &= \frac{1}{9} \\
9 \times 0.111\dots &= 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\
0.999\dots &= 1
\end{align}
</math>
|}
Auðveldari útgáfa þessarar sönnunar er byggð á eftirfarandi jöfnum:
:<math>
\begin{align}
\frac{9}{9} &= 1 \\
\frac{9}{9} &= 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times 0.111\dots = 0.999\dots
\end{align}
</math>
Fyrst báðar jöfnurnar eru sannar og venslaðar [[gegnvirk vensl|gegnvirkt]] hlýtur 0.999… að jafngilda 1. Eins, <sup>3</sup>/<sub>3</sup> = 1, og <sup>3</sup>/<sub>3</sup> = 0.999…. Þannig, 0.999… hlítur að jafngilda 1.
===== Að ráðskast smá með tölustafina =====
Lína 32 ⟶ 61:
:<math>
\begin{align}
c &=
10 c &=
10 c - c &=
9 c &=
c &= 1 \\
0.999\ldots &= 1
| |||