„Fall (stærðfræði)“: Munur á milli breytinga

Efni eytt Efni bætt við
Thvj (spjall | framlög)
Thvj (spjall | framlög)
orðalag og uppsetning
Lína 1:
Í [[stærðfræði]] á orðið '''fall''' yfirleitt við [[eintæk vörpun|eintæka vörpun]], þ.a. fyrir sérhvert stak í [[formengi]] vörpunarinnar er til eitt og aðeins sitt stak í [[bakmengi]]. Stundum eru þó orðin „fall“ og „vörpun“ notuð sem [[samheiti]]. Föll eru mikilvægtmikilvæg í öllum magnbundnum [[vísindi]]num. '''Fallafræðin''' fjallar um föll.
 
== Skilgreining ==
Formlega skilgreinum við fallFall ''f'', með formengi ''A '' og bakmengi ''B'', þanniglýsir tengslum á milli tveggja [[breyta|breytistærða]], ''óháðu breytunnar'' ''x'' og ''háðu breytunnar'' ''y'': <math>f: A \to B</math>. Fall ''f '' úthlutar þá sérhverju staki ''x'' í ''A'' nákvæmlega einu staki í ''B'', sem við táknum með ''f(x)'', og segjum þá að ''f'' taki gildið ''f(x)'' í ''x''. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr ''B'' fallið tekur í sérhverju staki í ''A''. Athugið að fleiri en eitt stak í ''A'' geta tekið sama gildið í ''B''.
Fall lýsir tengslum á milli tveggja [[breyta|breytistærða]], ''óháðu breytunnar'' og ''háðu breytunnar''.
 
Formlega skilgreinum við fall ''f'' með formengi ''A '' og bakmengi ''B'' þannig: <math>f: A \to B</math>. Fall ''f '' úthlutar þá sérhverju staki ''x'' í ''A'' nákvæmlega einu staki í ''B'', sem við táknum með ''f(x)'', og segjum þá að ''f'' taki gildið ''f(x)'' í ''x''. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr ''B'' fallið tekur í sérhverju staki í ''A''. Athugið að fleiri en eitt stak í ''A'' geta tekið sama gildið í ''B''.
 
Sem dæmi, ef bæði formengi og bakmengi falls ''f'' eru mengi allra [[rauntala|rauntalna]], þá úthlutar ''f'' sérhverri rauntölu ''x'' annarri rauntölu, sem er þá táknuð ''f(x)''. Við segjum þá að ''f'' taki gildið ''f(x)'' í ''x''.
Lína 12 ⟶ 10:
 
=== Myndræn líking ===
Fall mætti líta á sem nokkurskonar ímyndaða stærðfræðilega „[[vél]]“. Líkt og aðrar vélar tekur hún eitthvað inn á sig, og skilar einhverju frá sér - bílvélar sem dæmi taka inn [[bensín]] og [[loft]] og skila frá sér [[hreyfiorka|hreyfiorku]] og [[hiti|hita]]. SömuleiðisDæmi gætium fall tekiðf, innsem tölunatvöfaldar sérhverja tölu x: f(x) = 2x, þ.a. f(4) = 8, en þar er „4“ inntak fallsins, og skilað„8“ útúttakið. tölunniFallið „8“sjálft eftirer jafngilt „vélin"aðgerðinni hefði2•x, tvöfaldaðþar tölunasem 4.„•“ tákna [[margföldun]].
 
=== Tákn ===
Lína 30 ⟶ 28:
 
===Margliðuföll===
Margliðuföll[[Margliðufall]] eruer af gerðinni ''f:'' '''R''' → '''R'''; '': <math> f(x) := a_nxa_n x^n + ...a_{n-1} x^{n-1} + a_2x\cdots + a_2 x^2 + a_1xa_1 x + a_0'' \, </math> þar sem ''n'' er [[náttúrleg tala]] og ''a_0,...a_n''[[stuðull (stærðfræði)|stuðlarnir]] eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er [[raunfall]] eða [[tvinnfall]].
 
=== Tvinngild föll ===
Sum föll á [[tvinntala|tvinnsléttunni]] eru „marggild“ og taka því sama gild fyrir ólík stök í formengi, t.d. [[logri|logra]]- og [[veldisfall]]ið. Þar sem auðveldara er að vinna með eintæk föll er tvinnsléttan oft „skorin“ og aðeins unnið með eina „grein“ fallsins, sem er eintæk.
 
Dæmi um skilgreiningu falls f, sem tvöfaldar sérhverja tölu x: f(x) = 2x, þ.a. f(4) = 8. Í því dæmi er „4“ inntak fallsins, og „8“ úttakið. Fallið sjálft er jafngilt aðgerðinni 2•x, þar sem „•“ tákna [[margföldun]].
 
== Fallahugtök og tengt efni ==