Munur á milli breytinga „Fall (stærðfræði)“

ekkert breytingarágrip
m (r2.6.4) (robot Bæti við: kk:Функция аргументі)
Í [[stærðfræði]] er '''fall''' er einkum notað um [[vörpun]] sem tekur gildi í [[rauntala|rauntölunum]] eða [[tvinntala|tvinntölunum]] en er stundum notað í víðari merkingu sem samheiti við vörpun.
'''Fall''' í [[stærðfræði]] er [[eintækt fall|eintæk]] [[vörpun]] milli tveggja [[mengi|mengja]], [[formengi]]s og [[bakmengi]]s, þ.a. fyrir sérhvert stak í formenginu er til eitt og aðeins eitt stak í bakmenginu. (Öfug skilgreining gildir aðeins fyrir [[gagntækt fall]], þ.e. fyrir sérhvert stak í bakmenginu, sem er eins og [[myndmengi]]ð, er til eitt og aðeins eitt stak í formenginu.) Orðin fall og vörpun eru oft notuð sem [[samheiti]], þó að vörpun þurfi ekki að vera eintæk. Hugtakið fall er mikilvægt fyrir nánast allar greinar stærðfræðinnar og öll magnbundin [[vísindi]]. '''Fallafræðin''' fjallar um föll.
Fall er afar mikilvægt hugtak í stærðfræði og mörgum hagnýtingum hennar. Þar eru föll notuð til að lýsa hvernig ákveðnar stærðir hafa áhrif á aðrar stærðir.
 
== Formleg skilgreining ==
Fall lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð ''x'' er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast fallgildi). Fall getur einnig lýst sambandi á milli mengja, þ.e. fyrir hvert stak ''x'' í gefnu mengi (sem er kallað [[formengi]]) er til eitt og aðeins eitt stak y í öðru gefnu mengi sem kallast bakmengi. Mengi fallgilda kallast [[myndmengi]] (varpmengi, gildamengi) sem þarf ekki að vera það sama og bakmengið. ''Að sjálfsögðu má notast við aðra bókstafi á breytistærðunum''.
 
== Skilgreining ==
Til frekari útskýringar látum við A og B vera tvö [[mengi]], og A er talnamengi. Fall úr A í B er ritað <math>f: A \to B</math>, tengsl á milli þessa mengja er þess eðlis eins og lýst er að ofan, <math>x \in A</math> hefur aðeins eitt gildi, þ.e. fallgildið <math>y \in B</math>, sem að við ritum sem <math>f(x)</math>. Segjum að A og B séu rauntölnamengi og við viljum finna fallgildið af 2 þar sem að fallið er <math>f(x)=x^2</math>, þá ritum við sem svo: <math>f(2) = 2^2 = 4 = y</math> þar með höfum við fundið fallgildið sem er fjórir. Hægt er að lýsa tengslum mengja með grafi, þar sem að ''x'' og ''y'' eru hnit í hnitakerfi.
Fall samanstendur af formengi og bakmengi ásamt fyrirmælum um hvernig sérhverju staki í formenginu er úthlutað nákvæmlega einu staki úr bakmenginu.
Við að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>.
 
Ef eitt stak í skilgreiningarmengi á sér tvö eða fleiri tengd stök í bakmenginu er ''ekki'' talað um fall, heldur marggilt fall eða kvíslað fall (dæmi um margilt fall er: <math>y^2 = x^3</math>).
 
[[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f <\math> tekur í einhverju staki í formenginu. Formlega táknum við fall <math> f <\math> með formengi <math> A <\math> og bakmengi <math> B <\math> með <math>f: A \to B<\math>. Fall <math> f <\math> úthlutar þá sérhverju staki <math> x \in A <\math> nákvæmlega einu staki í <math> B <\math> sem við táknum með <math> f(x) <\math> og segjum þá að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>. Til að tilgreina nákvæmlega hvað fallið er verður að gefa til kynna hvaða gildi úr <math> B <\math> fallið tekur í sérhverju staki í <math> A <\math>. Athugið að fleiri en eitt stak í <math> A <\math> geta tekið sama gildið í <math> B <\math>.
Sé myndmengi falls talnamengi kallast það einfaldlega fall. Sé myndmengið mengi af vigrum er það kallað [[Vigur (stærðfræði)|vigurgilt fall]]. Ef að formengi vörpunar er ekki talnamengi er vörpunin ekki fall. Föll, sem skilgreind eru á [[tvinntala|tvinntalnasléttunni]] eða [[hlutmengi]] hennar, kallast '''tvinngild föll'''.
 
Til dæmis, ef bæði formengi og bakmengi falls <math> f <\math> eru mengi allra rauntalna, þá úthlutar <math> f <\math> sérhverri rauntölu <math> x <\math> annarri rauntölu, sem er þá táknuð <math> f(x) <\math>. Við segjum þá að <math> f <\math> taki gildið <math> f(x) <\math> í <math> x <\math>.
[[Myndmengi]] falls samanstendur af öllum gildum í bakmenginu sem <math> f <\math> tekur í einhverju staki í formenginu. M.ö.o. er myndmengi falls <math> f <\math> mengi allra staka <math> x <\math> í bakmengi <math> f <\math> þ.a. til er <math> x <\math> í formangi <math> f <\math> þ.a. <math> f(x) = y <\math>.
Ef myndmengi og bakmengi falls eru það sama segjum við að fall sé átækt.
Við segju síðan að fall sé eintækt ef engin tvö stök í formenginu taka sama gildið.
Fall er sagt gagntækt ef það er bæði átækt og eintækt.
 
Fall lýsir tengslum á milli tveggja breytistærða þar sem að fyrir hverja óháða breytistærð ''x'' er til eitt og aðeins eitt stak y (sem kallast f
 
=== Tákn ===
 
Bakmengi fallsins <math>f</math> er <math>B</math>
 
==Algeng föll==
===Fastaföll===
Fastaföll eru einföldustu föll sem hægt er að hugsa sér. Það eru föll þar sem öll stök í skilgreiningarmenginu taka sama gildið. Sem dæmi má taka raunfallið <math> f:'''R''' \to '''R'''; f(x) := 1 <\math>, þ.e. fall sem úthlutar öllum rauntölum tölunni 1.
 
===Margliðuföll===
Margliðuföll eru af gerðinni <math> f:'''R''' \to '''R'''; f(x) := a_nx^n + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 <\math> þar sem <math> n <\math> er [[náttúrleg tala]] og <math> a_1,...a_n <\math> eru rauntölur eða tvinntölur eftir því hvort fallið er [[raunfall]] eða [[tvinnfall]].
 
== Myndræn líking ==
44

breytingar