„Markgildi“: Munur á milli breytinga
Efni eytt Efni bætt við
m Almennara |
Bætti við þremur skilgreiningum á markgildi falla og runa. Á undan þessum kafla langar mig að bæta við kynningartexta áður en málið er flækt með táknmáli. |
||
Lína 1:
{{Örsmæðareikningur}}
'''Markgildi''' er grundvallarhugtak í [[stærðfræðigreining]]u. Hugtakið kemur gjarnan fyrst við sögu í menntaskóla þegar innleiða á deildun raungildra falla af einni breytistærð. Þá er sá skilningur lagður í orðið að fall hafi markgildi ''M'' í ákveðnum punkti ''a'' ef hægt er að hugsa sér að þegar breytistærðin ''x'' nálgast punktinn ''a'' þá nálgist fallgildið ''M''. Hugmyndin um markgildi er svo notuð til þess að skilgreina [[samfelldni]] og [[afleiður]]. Markgildi kemur fyrir í ýmsu samhengi innan stærðfræðinnar, svo sem geta [[vigurgild föll]] af [[föll af mörgum breytistærðum|mörgum breytistærðum]], [[runur]] og [[raðir]] öll haft markgildi. Almennasta skilgreining hugtaksins kemur úr [[grannfræði]].
==Skilgreining markgildis==
[[Mynd:Límite_01.svg|thumb|Þegar fjarlægð x er minni en δ frá c er fjarlægð ''f''(x) frá L minni en ε.]]
Til eru ýmsar skilgreiningar á markgildi sem eru misjafnlega almennar og nákvæmar. Orðalagið sem notað er í inngangi þessarar greinar er ekki nægilega nákvæmt til þess að skera úr um hvort til dæmis kennifall ræðra talna (''f'' = χℚ) eigi sér markgildi í nokkrum punkti. Hér eru nokkrar nákvæmari skilgreiningar:
===Skilgreining á markgildi raungildra falla af einni breytistærð===
Látum ''f''(x) vera raungilt fall af einni breytistærð, þ.e. X→ℝ: x → ''f''(x) og X úr ℝ. Við segjum að ''f''(x) hafi markgildið L þegar x stefnir á c, táknað:
:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>
ef fyrir sérhvert ε>0 er til δ>0 svoleiðis að |''f''(x) - L|<ε fyrir öll x þannig að 0<|x-c|<δ.
Vert er að taka fram að ''f''(c) þarf ekki að vera skilgreint. Þessi skilgreining nefnist [[(ε,_δ)-skilgreining á markgildi|epsilon-delta skilgreining á markgildi]] og er sú formlega skilgreining sem [[Karl Weierstrass]] setti fram á [[19. öld]].
===Skilgreining á markgildi runa===
Runa a<sub>n</sub> er sögð hafa markgildi L, táknað a<sub>n</sub>→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að |a<sub>n</sub> - L|<ε. Runa sem hefur markgildi er sögð vera samleitin en annars ósamleitin.
Með sambærilegum hætti má skilgreina markgildi runu í firðrúmi: Runa a<sub>n</sub> er sögð hafa markgildi L, táknað a<sub>n</sub>→L ef fyrir sérhvert ε>0 er til N svoleiðis að fyrir öll n>N gildir að ρ(a<sub>n</sub>,L)<ε. Þar sem ρ(x,y) táknar [[firð]] í gefnum firðrúmi. Þetta mætti orða sem svo að gera megi fjarlægðina á milli a<sub>n</sub> og L svo litla sem vera skal með því að velja nægilega stórt N.
==Einföld dæmi um markgildi raungildra falla==
| |||