Í línulegri algebru er ákveða marglínuleg vörpun D : R n n → R {\displaystyle D:\mathbb {R} _{n}^{n}\rightarrow \mathbb {R} } , sem varpar n×n ferningsfylki (eða n mörgum n -víðum vigrum ) yfir í rauntölu , oft táknuð með det . Fyrir sérhverja jákvæða heiltölu n er til nákvæmlega ein ákveða á mengi n×n fylkja, sem ákvarðast ótvírætt útfrá eftirtöldum eiginleikum:
Vörpunin er línuleg í hverjum vigri.
D ( v 1 , … , v i + v i ′ , … , v n ) = D ( v 1 , … , v i , … , v n ) + D ( v 1 , … , v i ′ , … , v n ) , D ( v 1 , … , c v i , … , v n ) = {\displaystyle D(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{i}^{\prime },\ldots ,\mathbf {v} _{n})=D(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i},\ldots ,\mathbf {v} _{n})+D(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i}^{\prime },\ldots ,\mathbf {v} _{n}),\quad D(\mathbf {v} _{1},\ldots ,c\mathbf {v} _{i},\ldots ,\mathbf {v} _{n})=} c D ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle cD(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n})} , þar sem c er tala .
Ef línuvigrar fylkisins víxlast skiptir vörpunin um formerki :
D ( v 1 , … , v i , … , v j , … , v n ) = − D ( v 1 , … , v j , … , v i , … , v n ) {\displaystyle D(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i},\ldots ,\mathbf {v} _{j},\ldots ,\mathbf {v} _{n})=-D(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{j},\ldots ,\mathbf {v} _{i},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}
Sé E = { e 1 , … , e n } {\displaystyle {\mathcal {E}}=\{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}} venjulegur grunnur fyrir R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} er ákveða fjölskyldunnar 1:
D ( E ) = 1 {\displaystyle D({\mathcal {E}})=1} Ákveðan D ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle D(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n})} er táknuð
det | − v 1 − ⋮ − v n − | {\displaystyle \det \left|{\begin{matrix}-\mathbf {v} _{1}-\\\vdots \\-\mathbf {v} _{n}-\\\end{matrix}}\right|}
Þ.e, vigrum fjölskyldunnar er raðað sem línuvigrar fylkis A , og ákveðan af A er det A {\displaystyle \det {A}}
Ákveður 2×2 fylkja
breyta
Ákveða 2×2 fylkis er skilgreind sem D ( x , y ) = det | a b c d | = a d − b c {\displaystyle D(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\det \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right|=ad-bc} fyrir vigrana x = ( a b ) {\displaystyle \mathbf {x} ={a \choose b}} og y = ( c d ) {\displaystyle \mathbf {y} ={c \choose d}} .
Ákveða 2×2 fylkis jafngildir flatarmáli samsíðungs með hliðarvigranna x og y .
Ákveður 3×3 fylkja
breyta
Notast er við reglu Sarrusar við að reikna út ákveðu 3×3 fylkis A = [ a b c d e f g h i ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}} er skilgreind sem
d e t ( A ) = a det | e f h i | − b det | d f g i | + c det | d e g h | {\displaystyle det(A)=a\det {\begin{vmatrix}e&f\\h&i\\\end{vmatrix}}-b\det {\begin{vmatrix}d&f\\g&i\\\end{vmatrix}}+c\det {\begin{vmatrix}d&e\\g&h\\\end{vmatrix}}} = a e i + b f g + c d h − a f h − b d i − c e g {\displaystyle =aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg} .Krossfeldi þrívíðra vigra er skilgreint út frá 3×3 ákveðu.
Almennar reglur um ákveður
breyta
det ( A c ) = det ( A ) c {\displaystyle \det(A^{c})=\det(A)^{c}}
det A B = det A det B {\displaystyle \det {AB}=\det {A}\det {B}}
det A ≠ 0 {\displaystyle \det {A}\neq 0} ef og aðeins ef A er andhverfanlegt fylki .
Séu einhverjar tvær línur í A eins er det A = 0 {\displaystyle \det {A}=0} (Sjá Hornalínugeranleiki og Reiknirit Gauss )
Sé einhver lína í A með núll í öllum stökum er det A = 0 {\displaystyle \det {A}=0}
Sé A n×n efra þríhyrningsfylki er det A = ∏ i = 1 n a i i {\displaystyle \det {A}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}} , þ.e. margfeldi stakanna á hornalínunni.
det A − 1 = 1 det A {\displaystyle \det {A^{-1}}={\frac {1}{\det {A}}}}
det A T = det A {\displaystyle \det {A^{\mathbf {T} }}=\det {A}} (sjá bylt fylki )
det A = λ 1 λ 2 ⋯ λ n {\displaystyle \det {A}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}} þar sem að λ 1 . . . λ n {\displaystyle \lambda _{1}...\lambda _{n}} eru eiginvigrar A .
A = 1 det A C T {\displaystyle A={\frac {1}{\det {A}}}C^{\mathbf {T} }} , þar sem C er hjáþáttafylki A .
det A = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i + b a i b det A i b = ∑ i = 1 n a i b C i b {\displaystyle \det {A}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+b}a_{ib}\det {A_{ib}}=\sum _{i=1}^{n}a_{ib}C_{ib}} = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i + b a b i det A b i = ∑ i = 1 n a b i C b i {\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+b}a_{bi}\det {A_{bi}}=\sum _{i=1}^{n}a_{bi}C_{bi}} fyrir fasta tölu b < n . Þá er C x y {\displaystyle C_{xy}} xy -hjáþáttur fylkisins A, og A x y {\displaystyle A_{xy}} er fylkið A þar þar sem að x -ta lína og y -ti dálkur hafa verið fjarlægð. a x y {\displaystyle a_{xy}} eru þá stakið í x -tu línu, y -ta dálki í A .